軌跡の問題の書き方（十分性の確認）｜数II図形と方程式

軌跡の問題で答えは合っているのに減点される——原因はほぼ1つです。「逆に」の確認を書いていない。

そして多くの場合、それは形式的な1行で済みます。ところが本当に効く問題もある。その見分けができるかどうかが分かれ目です。

結論：答案の型は5ステップ

1. 動く点を と置く
2. 条件を の式にする（媒介変数があれば消去）
3. 整理して図形の式を得る
4. 逆に、その図形上の点がすべて条件を満たすか確認する
5. 除外点・範囲の制限があれば書く

ステップ4と5が答案の後半です。ここを落とすと点が来ません。

なぜ「逆に」が必要なのか

ステップ2〜3でやったのは

条件を満たす点なら、この式を満たす

という向きだけです。逆向き——式を満たす点が本当に条件を満たすか——は別の話。

とくに媒介変数を消したときに問題が起きます。媒介変数には動ける範囲があるのに、消してしまうとその情報が式から消えるからです。

「必要条件で絞ってから、十分性を確認する」——恒等式や整数問題と同じ論証の型です。

やってみる1：逆が自明なケース

2点 、 から等距離にある点の軌跡を求めよ。

と置きます。 より、2乗して

逆の確認

逆に、直線 上の点 について

等しいので、すべての点が条件を満たします ○

したがって軌跡は直線 （線分ABの垂直二等分線）。

【検算】 で確かめます。、 ○

この例では逆も明らかです。それでも書く——それが答案の作法です。

やってみる2：アポロニウスの円

、 から距離の比が である点の軌跡を求めよ。

より 。2乗して

平方完成して

中心 、半径4の円です。

逆の確認

逆に、この円上の点 は を満たすので

一致するので ○　すべての点が条件を満たします。

【検算】2点で確かめます。

点	円上か	AP	BP	比
	○	2	4	○
	○	6	12	○

やってみる3：媒介変数を消すケース

点 Q が円 上を動くとき、 と Q を結ぶ線分の中点 P の軌跡を求めよ。

Q の座標を と置きます。これが媒介変数です。

中点 は

について解きます。

これを に代入して

中心 、半径 の円です。

逆の確認

逆に、この円上の点 に対して と定めると

Q は確かにもとの円上にあります ○　しかも はAQの中点になっている。除外点はありません。

【検算】 のとき 。円上か：

○　 なら 。 ○

やってみる4：範囲の制限が出るケース

ここが本題です。

直線 が円 と2点で交わるとき、その2交点の中点 M の軌跡を求めよ。

交点の 座標は

2解の和は なので、中点の 座標は

そして 。したがって

ここで止めると間違い

「2点で交わる」という条件が残っています。判別式から

なので 、つまり

軌跡は直線 のうち、 の部分です。

逆の確認

逆に、この範囲の点 に対して とすると なので確かに2点で交わり、その中点はこの点になります ○

【検算1】 のとき。

交点は 。座標は と 。中点は

上で、 ○

【検算2】 のとき（境界）。

重解——接しているので2点では交わりません。だから は軌跡から除かれます ○

この確認をしないと、端の点まで答えに含めてしまいます。

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. 標準の例題では、逆が自明で省いても答えが合うから

垂直二等分線やアポロニウスの円では、逆も明らかに成り立ちます。確認を省いても最終的な図形は変わりません。

そのため「逆に」の1行は形式的な作法に見えます。本当に効く問題——媒介変数に範囲がある問題——は応用として後ろに置かれやすいため、必要性を実感する前に単元が終わりがちです。

2. 媒介変数の範囲を追う作業が、式変形の外にあるから

「 を消す」という操作は純粋な式変形です。ところが がどこまで動けるかは、式変形とは別に管理しなければなりません。

この二重管理は計算手順として書き下しにくいため、例題ごとに個別に扱われやすい。共通の作法として定着しにくい部分です。

3. 同じ論証の型が、単元ごとにばらばらに現れるから

「必要条件で絞る → 十分性を確認する」という型は、恒等式の数値代入、整数問題の絞り込み、微分での極値の判定にも共通します。

ところがそれぞれ別の単元にあるため、同じ型だと気づきにくい。1つの型として意識できると、どの単元でも答案の穴が埋まります。

【検算】3つの方法

1. 求めた図形上の点を条件に入れてみる

逆の確認そのものを、具体的な数値でやります。

【検算】アポロニウスの円上の ：、 で ○

2. 条件を満たす点を作って、図形上にあるか見る

逆向きの検算です。媒介変数に具体的な値を入れて点を作ります。

【検算】 のときの中点 は 上 ○

3. 媒介変数の範囲から、端が入るか外れるかを調べる

境界の値を実際に入れて、条件が成り立つか確かめます。

【検算】 では接して交点が1つ。除外 ○

よくあるミス

ミス1：「逆に」を書かない

必要条件しか示していません。1行でよいので書きます。

ミス2：媒介変数の範囲を無視する

消した瞬間に情報が消えます。消す前に範囲を控えておきます。

ミス3：除外点を書き忘れる

「ただし を除く」まで書いて答案が完成します。

ミス4：等号の有無を間違える

「2点で交わる」なら接する場合は除く（不等号に等号を入れない）。

ミス5： と媒介変数の文字を混同する

動く点は 、動かす量は などと分けます。

ミス6：2乗して同値性が崩れることに気づかない

距離は0以上なので2乗しても同値です。ここは問題ありませんが、一般には注意が要ります。

練習問題

1. 、 から等距離にある点の軌跡を求めなさい。
2. 、 からの距離の比が の点の軌跡を求めなさい。
3. 2の答えが正しいことを、円上の点 と で確かめなさい。
4. Q が円 上を動くとき、 とQの中点の軌跡を求めなさい。
5. 直線 が円 と2点で交わるときの、2交点の中点の軌跡を求めなさい。
6. 5で のときの中点を実際に求めなさい。
7. 5で が除かれる理由を説明しなさい。

解答

1. より直線 。逆の確認： はどちらからも ○
2. より（中心 、半径4）
3. ： で円上、 ○　：円上、 ○
4. を代入して。除外点なし
5. 中点は 、判別式から 。 の の部分
6. より交点 。中点は。検算： 上 ○
7. は に対応し、そのとき重解になって接する。2点で交わらないので除く

まとめ

• 型は①点を置く ②式にする ③整理 ④逆の確認 ⑤除外点
• ③までは必要条件。④で十分性を示して完成
• 媒介変数を消すと範囲の情報が消える——消す前に控える
• 「2点で交わる」なら判別式の条件が範囲になる
• 境界は実際に代入して入るか外れるか判定する
• 検算は図形上の点を条件に入れる／条件から点を作る／境界を調べる

軌跡は「条件を式に翻訳し、翻訳が双方向であることを確かめる」作業です。行きだけ示して帰りを示さないと論証にならない——この感覚は、数学のあらゆる場面で効きます。「逆に」の1行は、答案の飾りではなく半分です。