期待値の計算と使いどころ｜数A確率

期待値は「平均」と訳されますが、ふつうの平均とは違います。違いは1点、確率で重みをつけて足すことです。

ここを外すと、賞金1000円・500円・0円のくじで「平均500円」と答えてしまう。実際は本数が違うので、まったく別の値になります。

結論：値 × 確率 をすべて足す

期待値 をすべて足したもの

確率が重みです。起こりやすい値ほど強く効く。

意味は「同じことを何度も繰り返したときの、1回あたりの平均」。1回だけでは、この値が出ないことのほうが普通です。

やってみる：さいころの目

1から6が、どれも の確率で出ます。

3.5です。さいころに3.5の目はありませんが、それでよい。何度も投げたときの1回あたりの平均を表しているからです。

【検算】確率の合計が1になっているか確かめます。

○　また最小1と最大6の間に入っているか。 ○

確率がそろっていないとき

10本のくじがある。1等（1000円）が1本、2等（500円）が2本、はずれ（0円）が7本。1本引くときの賞金の期待値は。

賞金	本数	確率	値×確率
1000円	1		100
500円	2		100
0円	7		0

200円です。

【検算】賞金の総額から計算し直します。

一致 ○　「全部の賞金を、全部の本数で割る」と同じことをしています。

単純平均との違い

賞金の種類だけを平均すると

まったく違う値です。はずれが7本もあるという情報が消えているから。本数（確率）で重みをつけなければ意味がありません。

使いどころ：参加すべきかの判断

期待値が最も役に立つのは「やる価値があるか」を決める場面です。

参加料	期待値との差	判断
100円		有利
200円		公平
300円		不利

1回あたりの平均的な収支が、この差です。何度も繰り返すほど、この値に近づいていきます。

さいころ2個の和

さいころを2個投げたときの、出た目の和の期待値。

和は2から12まで。それぞれの確率は36通りのうち何通りかで決まります。

和	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
通り	1	2	3	4	5	6	5	4	3	2	1

値×通り数をすべて足すと

【検算1】通り数の合計が36になるか。

○

【検算2】和の期待値は、それぞれの期待値の和になります。

一致 ○　この性質は非常に強力で、分布を作らずに答えが出せます。

もう1つの見方：対称性

和の分布は7を中心に左右対称です（2と12が1通りずつ、3と11が2通りずつ…）。対称な分布の期待値は中心の値。だから7。

2乗の期待値は、期待値の2乗ではない

さいころ1個で、出た目の2乗の期待値を求めます。

一方、期待値の2乗は

別の値です。混同しないでください。

【検算】この2つの差が分散になります。

0以上になりました ○　分散は必ず0以上なので、2乗の期待値のほうが必ず大きいのです。

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. 「平均」という同じ言葉で、中身が違うから

中1で習う平均は全部足して個数で割る。データの分析の平均も同じです。

ところが期待値は確率で重みをつけて足す。言葉が同じで中身が違うのに、両者を並べて比べる場面は別の科目・別の単元にまたがるため設けにくい。結果として単純平均で計算するミスが繰り返されます。

2. 確率の単元の最後に置かれ、時間が残りにくいから

場合の数から始まり、確率の基本、独立試行、条件付き確率と続いた終盤に位置します。

計算そのものはかけて足すだけで軽いため、公式1つ示して例題で終わりやすい。「なぜ確率で重みをつけるのか」「1回では出ない値になるのはなぜか」といった意味の部分に時間が配分されにくい構成です。

3. 「使いどころ」が数学の問題として出にくいから

期待値の本当の価値は意思決定——参加料と比べて有利か不利かの判断です。

しかし試験問題では値を求めるところまでで完結することが多く、判断に使う練習は演習の外に置かれやすい。そのため「求め方は分かるが何のための値か分からない」という状態になりがちです。

【検算】3つの方法

1. 確率の合計が1か

重みの合計は必ず1です。合わなければ、場合の数え落としがあります。

【検算】くじ： ○

2. 最小値と最大値の間にあるか

（最小の値）（最大の値）

重み付き平均なので、必ずこの範囲に入ります。

【検算】さいころ： ○　くじ： ○　和： ○

3. 別の道筋で計算し直す

「総額 ÷ 総数」で計算する、分けて足す、対称性を使う——2通りで一致すれば安心です。

【検算】和の期待値：分布から 、分けて ○

よくあるミス

ミス1：確率の重みを忘れて単純平均する

くじの例で約333円としてしまう典型です。本数を無視しています。

ミス2：確率の合計が1になっていない

場合を数え落としているサインです。はずれを忘れやすい。

ミス3：「1回では出ない値」に納得できず計算をやり直す

3.5は正しい答えです。1回の結果ではなく平均を表しています。

ミス4：2乗の期待値と期待値の2乗を混同する

別物です。差が分散になります。

ミス5：参加料を引き忘れる

「収支の期待値」なら賞金の期待値 参加料です。

ミス6：期待値が同じなら同じゲームだと思う

散らばりが違います。期待値0でも、 と では別物です。

練習問題

1. さいころを1個投げるとき、出た目の期待値を求めなさい。
2. さいころを2個投げるとき、出た目の和の期待値を求めなさい。
3. 10本のくじ（1000円1本、500円2本、0円7本）の賞金の期待値を求めなさい。
4. 3のくじの参加料が300円のとき、収支の期待値を求めなさい。
5. コインを2枚投げるとき、表の枚数の期待値を求めなさい。
6. さいころを1個投げるとき、出た目の2乗の期待値を求めなさい。
7. 6と1の答えから、さいころの目の分散を求めなさい。

解答

1. （3.5）。検算： ○
2. 7。検算： ○
3. 200円
4. 円（1回あたり平均100円の損）
5. 表の枚数は0,1,2で確率は 。1。検算：1枚あたり を2枚分で ○
6. （約15.17）
7. （約2.92）。検算：0以上 ○

まとめ

• 期待値は値 × 確率 の総和。確率が重み
• 意味は繰り返したときの1回あたりの平均。1回では出ない値でよい
• 単純平均とは違う。本数・確率を必ず反映させる
• 使いどころは参加料と比べた有利・不利の判断
• 和の期待値は、期待値の和（分布を作らずに求められる）
• 2乗の期待値 期待値の2乗。差が分散
• 検算は確率の合計が1／最小と最大の間／別ルートで一致

期待値は数Bの確率変数と確率分布で主役になります。そこでは や といった性質が公式として整理されますが、やっていることはここと同じです。「値 × 確率 を足す」——この一言を持っておけば、記号が増えても迷いません。