公約数・公倍数の文章題の見分け方｜中学受験数の性質

公約数か公倍数か——迷ったら答えの大きさを考えてください。

答えがもとの数より小さくなる → 公約数

答えがもとの数より大きくなる → 公倍数

これだけで、ほとんどの問題は見分けられます。

言葉のサイン

	よく出る言葉
公約数	あまりなく分ける／等分する／同じ数ずつ配る／できるだけ大きな正方形で敷き詰める
公倍数	同時に／次にそろうのは／並べて正方形を作る／何回目に重なるか

「分ける」なら公約数、「そろえる」なら公倍数と覚えるのも有効です。

やってみる1：公約数の問題

りんご48個とみかん36個を、あまりが出ないように同じ数ずつ何人かに配ります。できるだけ多くの人に配るとき、何人に配れますか。

人数は48も36もわり切る数——つまり公約数です。

48と36の最大公約数は

共通するのは 。

12人です。

【検算1】実際に配ってみます。

りんご4個、みかん3個ずつ。あまりなし ○

【検算2】答えは48より小さいか。 ○　公約数なので当然です。

【検算3】13人ではどうか。 はわり切れません。12より大きい公約数はない ○

やってみる2：公倍数の問題

バスAは12分ごと、バスBは18分ごとに発車します。いま同時に発車しました。次に同時に発車するのは何分後ですか。

Aが出るのは12分後、24分後、36分後……12の倍数。Bは18の倍数。

両方が出るのは公倍数、いちばん近いのは最小公倍数です。

最小公倍数は 。

36分後です。

【検算1】本当に両方が出るか確かめます。

Aは3本目、Bは2本目——どちらもちょうど ○

【検算2】答えは12より大きいか。 ○　公倍数なので当然です。

【検算3】36より前にそろう時刻はないか。12の倍数（12・24）を18で割ると、どちらもわり切れません ○

やってみる3：タイルの2つの問題

タイルの問題は両方の型が出ます。よく読んで区別しましょう。

ア：長方形を正方形で敷き詰める（公約数）

縦48cm、横36cmの長方形に、同じ大きさの正方形のタイルをすきまなく敷き詰めます。できるだけ大きなタイルの1辺は何cmですか。

タイルの1辺は48も36もわり切る数——公約数です。

12cm。枚数は

12枚です。

【検算】、 ○　ぴったり収まります。

イ：長方形を並べて正方形を作る（公倍数）

縦12cm、横18cmのタイルを同じ向きに並べて正方形を作ります。いちばん小さい正方形の1辺は何cmですか。

1辺は12でも18でもわり切れる数——公倍数です。

36cm。枚数は

6枚です。

【検算】、 ○　正方形になりました。

ア（分ける）は小さくなる。イ（並べる）は大きくなる。

あまりがある問題

50を割っても74を割っても2あまる整数をすべて求めなさい。

2あまるということは、2を引けばわり切れます。

48と72の公約数を求めます。最大公約数は24なので、公約数は

ただしあまりが2なので、わる数は2より大きくなければなりません。

3、4、6、8、12、24が答えです。

【検算1】24で試します。 あまり2 ○、 あまり2 ○

【検算2】2で試すと あまり0。あまりが2にならないので除外 ○

【検算3】3で試します。 あまり2 ○、 あまり2 ○

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. 「求め方」の練習が中心になるから

最大公約数・最小公倍数の計算の仕方（すだれ算など）は繰り返し練習します。

ところが文章題でつまずくのはどちらを使うかの判断です。これは読み取りの問題で、計算練習では鍛えられません。

2. 2つの用語が似ているから

「公約数」と「公倍数」——字が1文字違うだけです。用語だけを覚えると、意味が入れ替わります。

約数は小さくなる、倍数は大きくなるという量の感覚と結びつけて確認する場面が、あまり作られません。

3. 「あまりがある型」は差を取る操作が必要だから

あまりを引いてから公約数を求める——この一手間は整数の性質の応用にあたります。

小学校の配当時間では基本の型で手一杯になりやすく、応用に進む前に単元が終わりがちです。

【検算】3つの方法

1. 実際に割ってみる・数えてみる

最も確実です。

【検算】、 ○

2. 答えの大きさを確認する

公約数ならもとの数以下、公倍数ならもとの数以上です。

【検算】 ○（公約数）、 ○（公倍数）

3. 1つとなりの候補で試す

本当に最大／最小かを確かめます。

【検算】13人では割り切れない ○　24分ではBが出ない ○

よくあるミス

ミス1：公約数と公倍数を取り違える

答えの大きさで判断します。

ミス2：最大・最小を読み落とす

「できるだけ大きく」「いちばん小さい」を確認します。

ミス3：あまりを引き忘れる

先に引いてから公約数を求めます。

ミス4：あまりより小さい数を答えに入れる

わる数はあまりより大きい必要があります。

ミス5：枚数と1辺を混同する

聞かれているのはどちらか確認します。

ミス6：1を忘れる・1を入れてしまう

公約数には1も含まれますが、問題の条件で除くこともあります。

練習問題

1. りんご48個・みかん36個を等分するときの最大人数を求めなさい。
2. 1のとき1人あたりの個数を求めなさい。
3. 12分ごと・18分ごとのバスが次に同時に出る時刻を求めなさい。
4. 縦48cm・横36cmを正方形で敷き詰めるときの最大の1辺と枚数を求めなさい。
5. 縦12cm・横18cmのタイルで作る最小の正方形の1辺と枚数を求めなさい。
6. 50も74も割ると2あまる整数をすべて求めなさい。
7. 公約数と公倍数の見分け方を答えなさい。

解答

1. 48と36の最大公約数で12人
2. りんご4個、みかん3個
3. 12と18の最小公倍数で36分後
4. 1辺12cm、12枚
5. 1辺36cm、6枚
6. 3、4、6、8、12、24
7. 答えがもとの数より小さければ公約数、大きければ公倍数

まとめ

• 分ける→公約数、そろえる→公倍数
• 答えの大きさで見分ける（小さい／大きい）
• タイルは敷き詰めるなら公約数、並べるなら公倍数
• あまりがあるときは先に引く
• わる数はあまりより大きい
• 検算は実際に割る／大きさの確認／となりの候補

公約数か公倍数かで迷ったら、答えがどれくらいの大きさになるかを先に想像してください。「48個を分けるのだから、人数は48人より多くはならない」——この一言で、使うべき道具が決まります。計算の前に、答えの見当をつける——どの単元でも役に立つ習慣です。