区分求積法で和の極限を積分に直す｜数III積分法

区分求積法は「短冊を足して、細くしていく」だけの話です。

公式が長く見えますが、記号の役割は2つだけです。

記号の意味

記号	意味
	短冊の横幅
	短冊の高さ（位置 での値）

（横幅）×（高さ）＝ 短冊の面積。それを から まで足して、 を大きくすれば面積＝定積分になります。

手順は3ステップ

1. をくくり出す
2. 残りを だけの式にする
3. 、 と置きかえる

やってみる1：いちばん基本の形

を求めなさい。

すでに がくくられ、残りは だけ。そのまま置きかえます。

【検算1】公式を使って直接計算します。

で ○

【検算2】 で計算すると

0.5に近い ○

やってみる2：2乗の形

を求めなさい。

【検算1】Σの公式で直接計算します。

分子を展開すると 。 で割って極限をとると

○

【検算2】 では

に近い ○

やってみる3：形を作る必要がある型

を求めなさい。

このままでは が見えません。分母分子を で割ります。

が現れました。あとは置きかえるだけです。

【検算1】。 で実際に和を計算すると約0.7851——近い値です ○

【検算2】 を大きくするほど に近づきます。 では約0.7600、 では約0.7829 ○

を作れるかどうかが勝負

やってみる4：分数の形

を求めなさい。

分母分子を で割ります。

【検算】。 の和は約0.6929 ○

k の範囲が違っても極限は同じ

から でも、 から でも、極限は同じになります。

違うのは短冊の高さを左端で取るか右端で取るかだけ。幅を0に近づければ差は消えます。

【検算】 の場合、右端なら 、左端なら 。

差は で、 で0に消えます ○　どちらも に収束します。

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. 公式の見た目が複雑だから

Σ・lim・∫ が同時に出てきます。記号が多いだけで身構えてしまう。

ところが意味は「短冊の面積の合計」だけ。図で1回納得すれば、記号は説明を書いているだけだと分かります。

2. 「形を作る」変形が難しいから

問題の多くは が見える形では出ません。分母分子を や で割るという一手が必要です。

この変形は慣れが必要ですが、練習の場が限られています。「 を作る」という目標を意識するだけで見通しがよくなります。

3. 積分の定義に関わる話だから

区分求積法は定積分の定義そのものです。ふつうは「面積を求める道具」として積分を習うので、定義に戻る場面が少ない。

数IIIの終盤に置かれることも多く、時間切れになりやすい単元でもあります。

【検算】3つの方法

1. 大きな n で実際に和を計算する

最も確実です。積分の値に近づいていれば正しい。

【検算】 で0.5005、極限は0.5 ○

2. Σの公式で厳密に計算する

多項式なら可能です。

【検算】 ○

3. n を変えて近づき方を見る

【検算】 で 0.7600、0.7829、0.7851 → ○

よくあるミス

ミス1： をくくり出さずに置きかえる

横幅の役割を果たす が必要です。

ミス2： 以外の形が残る

変形が足りません。

ミス3：積分区間を間違える

基本は から です。

ミス4：k の範囲で悩みすぎる

極限は同じになります。

ミス5：Σの中の n を定数と思う

n は極限を取る文字です。

ミス6：積分計算で間違える

微分して戻すと確認できます。

練習問題

1. を求めなさい。
2. 1をΣの公式で直接計算しなさい。
3. を求めなさい。
4. 3を で計算しなさい。
5. を求めなさい。
6. を求めなさい。
7. 短冊の高さを左端で取っても同じ値になる理由を答えなさい。

解答

2. ○
4. 0.33383
7. 幅を0に近づけると、左端と右端の差が消えるから

まとめ

• 区分求積法は短冊の面積の合計
• が横幅、 が位置
• 手順は をくくる→ の式にする→置きかえる
• 見えないときは分母分子を や で割る
• k の範囲が違っても極限は同じ
• 検算は大きい n で計算／Σの公式／近づき方を見る

区分求積法は「積分とは何だったか」を思い出させてくれる単元です。面積を求める道具として使っているうちに忘れがちですが、積分の正体は細かく分けて足し上げること。この原点に戻ると、物理でも統計でも積分が読めるようになります。