くじ引きは引く順番で有利不利が変わらない｜中2確率

「先に引いたほうが得」「最後まで残ったら当たりが減っている」——どちらも間違いです。

くじ引きは、何番目に引いても当たる確率は同じ

ただし前の人の結果を見ていないときに限ります。この条件が、混乱のもとになっています。

やってみる：5本中2本が当たり

5本のくじのうち2本が当たりです。A、B、Cの順に1本ずつ引き、引いたくじは戻しません。それぞれが当たる確率を求めなさい。

Aが当たる確率

5本中2本なので

Bが当たる確率

Aの結果で場合分けします。

Aの結果	Aの確率	そのときBが当たる確率	かけ算
当たり
はずれ

2つを足します。

Aと同じ です。

Cが当たる確率

同じように場合分けすると、やはり になります。

【検算1】3人の確率を足します。

1を超えていますが、これは矛盾ではありません。「Aが当たる」と「Bが当たる」は同時に起こりうるからです ○

【検算2】5人全員が引いたとすると

当たりくじの本数2本と一致 ○　全員の確率を足すと、必ず当たりの本数になります。

なぜ同じになるのか

説明1：全員が引ききると考える

5本のくじを5人が1本ずつ引くと、くじは全部なくなります。

2本の当たりがだれの手に渡るか——5人のうちどの人も同じ立場です。特別扱いされる人はいません。

だから、どの人も

説明2：並べ方を数える

5本のくじを1列に並べると考えます。当たり2本がどの位置に来るかの選び方は

10通り。このうち2番目が当たりになるのは、残り1本を4か所から選ぶので

4通りです。

【検算】1番目が当たりになるのも、3番目が当たりになるのも、同じく4通り。どの位置も対等です ○

ただし「結果を見た」なら変わる

Aが引いたくじが当たりだったとわかっています。このときBが当たる確率は何ですか。

残りは4本中1本が当たりなので

逆にAがはずれだったとわかっていれば、残りは4本中2本で

情報を得ると確率は変わる

「順番で変わらない」のは前の結果を知らないときの話です。ここを区別すれば混乱しません。

【検算】2つの場合をそれぞれの起こりやすさで平均すると

もとの に戻ります ○　情報がない状態は、2つの場合の平均にあたります。

本数を変えても同じ

くじ	当たり	何番目でも
5本	2本
10本	3本
7本	1本

n本中k本なら、何番目でも です。

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. 樹形図が大きくなりすぎるから

3番目・4番目の確率を樹形図で確かめようとすると、枝が急に増えます。

2番目までなら扱えますが、その先を確認する時間が取りにくい。結果として「同じらしい」で終わりやすいのです。

2. 「同様に確からしい」の視点が説明されにくいから

この問題の本質は「引く前の時点で見れば、5人は対等」という点です。

ところが「同様に確からしい」はさいころやコインで導入されます。人の立場が対等という使い方まで踏み込む場面が少ないのです。

3. 条件付き確率が高校の内容だから

「前の結果を知ったら変わる」——これは条件付き確率です。数Aで扱う内容にあたります。

中学2年の配当では踏み込めないため、「知っている場合」と「知らない場合」の区別があいまいなまま残りやすいのです。

【検算】3つの方法

1. 場合分けして足し合わせる

最も確実です。

【検算】 ○

2. 全員分を足して、当たりの本数になるか

強力な検算です。

【検算】 ○　当たり2本と一致

3. 並べ方を数え直す

【検算】10通り中4通りで ○

よくあるミス

ミス1：後のほうが不利だと思う

変わりません。

ミス2：前の結果を勝手に決めてしまう

両方の場合を考えます。

ミス3：確率の和が1を超えて焦る

同時に起こりうるので問題ありません。

ミス4：引いたくじを戻すかどうかを読み落とす

戻すなら独立、戻さないなら本数が減ります。

ミス5：情報がある場合と混同する

見たかどうかで区別します。

ミス6：分母を減らし忘れる

2人目は4本中です。

練習問題

1. 5本中2本が当たりのとき、Aが当たる確率を求めなさい。
2. Bが当たる確率を、場合分けして求めなさい。
3. 5人全員の確率を足すといくつになるか求めなさい。
4. 並べ方を数える方法で、2番目が当たりになる確率を求めなさい。
5. Aが当たりだったとわかっているとき、Bが当たる確率を求めなさい。
6. Aがはずれだったとわかっているとき、Bが当たる確率を求めなさい。
7. 10本中3本のとき、5番目の人が当たる確率を求めなさい。

解答

3. 2（当たりの本数）

まとめ

• くじ引きは何番目でも確率は同じ
• n本中k本ならどの順番でも
• 理由は引く前の時点で全員が対等だから
• 前の結果を知ると変わる（条件付き確率）
• 全員分を足すと当たりの本数になる
• 検算は場合分けの和／全員分の合計／並べ方

この問題が面白いのは、直感と計算がずれるところです。「先に引いたほうが有利そう」という感覚は自然ですが、計算すると等しい。直感が外れる場面こそ、確率を学ぶ価値がある場面です。じゃんけんの順番や席替えのくじで迷ったら、この結果を思い出してください。