空間ベクトルで平面の方程式が立てられない｜数Cベクトル

平面の方程式が立てられない原因は1つです。「平面が何で決まるか」を知らない。

平面は「法線ベクトル」と「通る点1つ」で決まる

この2つがそろえば、方程式は内積を1回書くだけで出てきます。

結論： と書く

法線ベクトルを 、通る点を とします。

平面上の点 について、 は平面に沿った向き。法線とは垂直なので

成分で書くと

展開して整理すれば

（）

係数がそのまま法線ベクトル

の が法線ベクトル

2次元の直線 で が法線だったのとまったく同じ構造です。次元が1つ増えただけ。

やってみる1：法線と1点から

法線ベクトルが で、点 を通る平面の方程式を求めよ。

展開します。

【検算1】通る点を代入します。

○

【検算2】定数項を確かめます。 なので ○

【検算3】係数が法線と一致しているか。 ○

やってみる2：3点から

、、 を通る平面の方程式を求めよ。

方針：まず法線を求める

平面上のベクトルを2本とります。

法線 はこの2本と垂直なので

したがって 、。 とすると 。

法線は長さが自由なので、いちばん簡単な整数比を選びます。

方程式を作る

点Aを通るので

【検算1】3点すべてを代入します。

点
	○
	○
	○

【検算2】内積が0か確かめます。

どちらも0 ○　確かに法線です。

別の方法でも確かめる

3点が各軸との交点になっているので、切片の形が使えます。

両辺を6倍すると

一致 ○　まったく違う道筋で同じ答えになりました。

点と平面の距離

点と直線の距離の公式で、分母に が増えただけです。理由も同じ——法線方向の成分を取り出しています。

原点と平面 の距離を求めよ。

約2.94です。

【検算】垂線の足を求めます。原点から法線方向へ進むので、 の形。平面上にあるので

足は 。そこまでの距離は

一致 ○

【検算2】足が平面上にあるか。 なので ○

2平面のなす角は法線どうしの角

平面の傾きは法線が決めているので、2平面のなす角は法線どうしのなす角（またはその補角）です。

【検算】（法線 ）と （法線 ）は垂直な平面。法線の内積は

垂直 ○　確かに 平面と 平面は直交しています。

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. 「平面は法線と1点で決まる」が示されにくいから

直線は「方向ベクトルと1点」で決まりました。平面は「法線ベクトルと1点」。

この違いは重要ですが、方程式の形として提示されると、決定条件としての意味が伝わりにくい。何が分かれば平面が決まるか——ここを押さえると、問題文から手がかりを探せるようになります。

2. 直線の場合との対応が示されにくいから

の が法線、 の が法線。まったく同じ構造です。

ところが数IIの図形と方程式と数Cのベクトルは別の単元。対応させる場面が構成上ないため、新しい公式として覚え直すことになりがちです。

3. 3点から法線を求める手順が型になりにくいから

3点が与えられたら2本のベクトルを作り、両方と垂直な法線を連立で求める——これが型です。

しかし連立方程式の解き方（1文字を自由に決める）に慣れが要り、答えが一意でない（定数倍の自由度がある）ことも戸惑いの原因になります。整数比で書ければ十分と知っておくと迷いません。

【検算】3つの方法

1. 与えられた点を代入する

最も確実です。すべての点で0になるはずです。

【検算】 に ：すべて0 ○

2. 法線と平面上のベクトルの内積が0か

【検算】 ○

3. 別の方法で作って一致するか

切片形や別の点を基準にするなど、道筋を変えて確かめます。

【検算】切片形からも ○

よくあるミス

ミス1：法線ベクトルと方向ベクトルを混同する

平面は法線、直線は方向です。

ミス2：定数項の符号を間違える

。展開して確かめます。

ミス3：法線を1通りに決めようとする

定数倍の自由度があります。整数比で書ければ十分。

ミス4：3点が一直線上にある場合を考えない

平面が決まりません。2本のベクトルが平行かどうか確認します。

ミス5：距離の公式で を忘れる

です。3成分すべて。

ミス6：2平面の角を法線の角と逆にとる

補角になることがあります。鋭角で答えるなら絶対値をとります。

練習問題

1. 法線 、点 を通る平面の方程式を求めなさい。
2. 1の答えに点を代入して検算しなさい。
3. を通る平面の法線ベクトルを求めなさい。
4. 3の平面の方程式を求めなさい。
5. 4を切片の形でも確かめなさい。
6. 原点と平面 の距離を求めなさい。
7. の法線ベクトルを答えなさい。

解答

1. より
2. ○
3. 、 より（定数倍は自由）
4. より。検算：3点とも0 ○
5. の両辺を6倍して ○
6. （約2.94）。検算：垂線の足 までの距離と一致 ○
7. （係数がそのまま法線）

まとめ

• 平面は「法線ベクトル」と「通る点1つ」で決まる
• 方程式は を書くだけ
• 係数 がそのまま法線（直線の場合と同じ構造）
• 3点からは2本のベクトルを作り、両方と垂直な法線を連立で求める
• 法線は定数倍の自由度がある（整数比でよい）
• 距離は
• 検算は点を代入／内積が0／別の方法で一致

空間の問題は「垂直をどう表すか」で決まります。垂直は内積0——この一手で、平面も、距離も、角度も書けるようになる。図が描けなくても計算はできる。それが空間ベクトルの最大の強みです。