logの定義がそもそもわからない｜数II指数対数

。この式を見て「なんとなく計算はできるけれど、logが何なのかは分かっていない」——数IIでいちばん多い状態です。

logは新しい計算ではありません。すでに知っている指数を、別の角度から書き直しただけです。定義を1行で押さえれば、公式の意味もすべてつながります。

結論：logは「何乗すればよいか」を表す記号

定義はこの1行です。

言葉にすると「 を何乗したら になるか、その指数が 」。

つまり は「2を何乗したら8になるか」という質問で、答えは3。だから です。

log の式	読み方	指数で書くと	答え
	2を何乗すれば8か		3
	3を何乗すれば9か		2
	5を何乗すれば1か		0
	2を何乗すれば か

logが出てきたら、まず指数の形に書き直す。これだけで大半の問題は見通しが立ちます。

なぜこんな記号が必要なのか

なら だと暗算できます。では は？

、 なので、 は3と4の間のどこかです。この「どこか」を表す方法がなかった——それがlogを作った理由です。

が「2乗して2になる数」に名前を付けたのと同じ発想です。答えが既存の数で書けないとき、それを表す記号を用意する。logはそういう記号です。

【検算】。実際に となり、ほぼ10です。確かに3と4の間にありました。

底の条件：なぜ なのか

定義には条件が付きます。 かつ 、そして 。理由はそれぞれはっきりしています。

がだめな理由

は何乗しても です。。 は「1を何乗したら5か」ですが、そんな は存在しません。また は「1を何乗したら1か」で、答えが無数にあってしまいます。どちらにしても定まりません。

がだめな理由

とすると は が整数でないとき実数の値を持ちません（）。連続的に扱えないので、底からは外します。

でなければならない理由（真数条件）

なら はどんな でも必ず正です。だから となる は正しかありえません。

これが真数条件の正体です。「覚えるルール」ではなく、指数の性質から自動的に決まります。

が出てきたら、必ず 、すなわち が前提になります。方程式を解いたあとに、この条件で答えをふるいにかける必要があります。

公式が「指数法則そのもの」であることの確認

logの公式は暗記対象に見えますが、すべて指数法則の言い換えです。

、 とおくと、定義より 、。

かけると

これを定義に戻すと 。

使ったのは だけです。「かけ算が足し算になる」のは、指数法則がそうだからです。

【検算】。一方 。一致しました。

同様に なら 。よって 。

使ったのは だけです。

【検算】。一方 。一致します。

【検算】定義通りに計算して公式の値と突き合わせる

いくつかの値について、「指数に直して確かめる」作業を実際にやってみます。

式	指数に直す	値	確認
		3	○
		3	○
			○
			○
			○

最後の2つのように答えが分数になることもあります。「整数にならないから間違い」ではありません。指数に直して合っていれば正解です。

よくあるミス

ミス1： を分解する

足し算は分解できません。

誤：
正：

公式が使えるのはかけ算・わり算・累乗だけです。指数法則に をまとめる規則がないので、logにもありません。

ミス2：真数条件を確認せずに答える

を解きます。

公式でまとめると 、すなわち 。展開して 、よって 。

ここで真数条件： かつ より 。 は不適で、答えは のみです。

【検算】 のとき 。合っています。
のときは となり、そもそも定義されません。

ミス3：底を書き忘れる

と書かれたら、高校では底10（常用対数）を指すのが慣例です。ただし答案では底を明記するのが安全です。

練習問題

1. を求めなさい。
2. を求めなさい。
3. を求めなさい。
4. を計算しなさい。
5. を解きなさい。

解答

1. より
2. より
3. 。、 なので 、よって
5. 指数に直して 、よって 。真数条件 すなわち を満たすので適する

まとめ

• は「 を何乗すれば になるか」という指数そのもの
• logが出たらまず の形に書き直す
• 底の条件（）も真数条件（）も、指数の性質から自動的に決まる
• logの公式は指数法則の言い換え。かけ算→足し算、累乗→かけ算
• 足し算の中身は分解できない
• 方程式を解いたら必ず真数条件でふるいにかける

対数は数IIで終わりません。数IIIの微分積分（）、極限の処理、さらに化学のpHや情報のビット数まで、指数を扱うあらゆる場面で現れます。「何乗すればよいか」という一文だけ持っておけば、どの場面でも意味を復元できます。