面積の公式(1/2)ab sinCはどこから来たのか｜数I図形と計量

三角形の面積 。なぜ が出てくるのか——公式として覚えていても、由来を説明できる人は多くありません。

実は小学校で習った「底辺×高さ÷2」そのものです。高さを で書き直しただけ。1行で導けます。

結論：高さが だから

三角形ABCで、、、 は頂点Cの角とします。

底辺を と見て、Aから下ろした高さを考えます。

頂点Cのところにできる直角三角形に注目すると、斜辺が 、角が 。したがって

高さ ＝

あとは小学校の公式に入れるだけです。

これだけです。新しい公式ではなく、高さの書き換えにすぎません。

なぜ高さが なのか

の定義に戻ります。

＝（高さ）÷（斜辺）

斜辺が なので、両辺に をかけて

高さ ＝

【検算】直角三角形で確かめます。 のとき なので高さは 。

これは辺 がそのまま高さになるということ。直角三角形では確かにそうです ○

面積も 。直角をはさむ2辺の積の半分——おなじみの形です ○

具体例で確かめる

、、 の三角形の面積を求めなさい。

【検算】座標で確かめます。Cを原点、 とすると、Aは原点から距離8で角 の位置なので

底辺BCは 軸上で長さ6、高さはAの 座標で4。

一致しました ○。高さ4は と確かに同じです ○

鈍角でも成り立つ

ここが重要です。 が鈍角でも同じ公式が使えます。

、、 の三角形の面積を求めなさい。

なので

のときと同じです。

【検算】座標で確かめます。、、Aは

高さはやはり4（ 座標）。底辺6なので面積12 ○

Aが左にずれても高さは変わらない——だから面積が同じになります。等積変形と同じ原理です。

鈍角では垂線の足が底辺の外に出ますが、 の座標による定義（）を使えばそのまま計算できます。これが鈍角への拡張の恩恵です。

どの角を使ってもよい

公式は3通りの書き方があります。

「角をはさむ2辺」の積に、その角の をかける——形は同じです。

【検算】3辺が の直角三角形で確かめます。 なので斜辺5の直角三角形で、直角は3と4がはさむ角です。

• 直角をはさむ2辺で …
• 普通の公式で …

一致 ○

別の角でも計算します。3と5がはさむ角を とすると 、。

やはり6 ○。どの角を使っても同じ面積になります。

ヘロンの公式との関係

3辺だけ分かっているときは、 を余弦定理で求めてから を出します。

3辺が の三角形の面積を求めなさい。

5と6がはさむ角を とすると、余弦定理より

より

（三角形の内角なので ）

【検算】ヘロンの公式でも計算します。 なので

なので 。一致しました ○

数値でも確認します。。妥当な大きさです（3辺が5,6,7なので）○

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. 公式が短くて覚えやすいから

は数秒で覚えられます。導出（高さ＝）を理解するより速い。

ところが覚えただけだと、どの辺とどの角を使うのか混乱します。「角をはさむ2辺」という関係が抜けるからです。

「高さを で書いただけ」と理解していれば、辺と角の対応で迷いません。

2. 小学校の公式との連続性が示されにくいから

「底辺×高さ÷2」は小学校の内容です。数Iの三角比の単元では、これを既習として扱います。

ところが「同じ公式の書き換えだ」と並べて示す場面は構成上生まれにくい。するとまったく新しい公式として受け取られます。

3. 鈍角でも成り立つことの確認が省かれやすいから

鋭角では図を描けば直角三角形が見えます。ところが鈍角では垂線の足が底辺の外に出るので、同じ図が描けません。

「それでも公式は成り立つ」ことは、座標による の定義を使えば示せます。ところがこの確認はやや踏み込んだ内容なので、省略されやすい。

座標で1回確かめておくと、鈍角の三角形でも安心して公式が使えます。

【検算】3つの方法

1. 座標に置いて計算する

最も確実です。1つの頂点を原点、1辺を 軸に置けば、高さは頂点の 座標そのものです。

条件	頂点Aの座標	高さ	面積
		4	12 ○
		4	12 ○
		8	24 ○

2. 別の角で計算して一致するか

3通りの書き方がすべて同じ値になるはずです。1つでも違えば計算ミスです。

3. ヘロンの公式と突き合わせる

3辺が分かっているなら、ヘロンの公式で独立に計算できます。

　（）

2つの独立した方法で一致すれば、まず間違いありません。

よくあるミス

ミス1：角と辺の対応を間違える

を使うなら、 をはさむ2辺です。向かい合う辺ではありません。

で、 は の両隣——図で確認してください。

ミス2： を忘れる

三角形なので半分です。 は平行四辺形の面積になります。

ミス3：鈍角で使えないと思う

使えます。 は鈍角でも正なので、面積も正しく出ます。

ミス4： を と取り違える

面積は です。 は余弦定理（辺の長さ）で使います。

覚え方より、高さの導出を思い出すほうが確実です。

ミス5： を求めるときに符号を迷う

三角形の内角は なので、 は必ず正です。負にはなりません。

練習問題

1. 、、 の三角形の面積を求めなさい。
2. 、、 の三角形の面積を求めなさい。
3. 、、 の三角形の面積を求めなさい。
4. のとき、、 の三角形の面積を求めなさい。
5. 3辺が の三角形の面積をヘロンの公式で求めなさい。
6. のとき を求めなさい（ は三角形の内角）。

解答

1. 6。検算：高さは 、 ○
2. なので6。1と同じ（高さが同じだから）○
3. なので 20
4. なので 。検算： ○
5. なので
6. より。内角なので正

まとめ

• 公式の正体は「底辺×高さ÷2」。高さを に置き換えただけ
• 高さが なのは、 の定義（高さ÷斜辺）から
• を使うなら、 をはさむ2辺を掛ける
• 書き方は3通り。どの角を使っても同じ値
• 鈍角でも成り立つ。座標の定義を使えばそのまま計算できる
• 3辺だけ分かっているときは余弦定理で → 、またはヘロンの公式
• 検算は座標に置く／別の角で計算／ヘロンと突き合わせる

は、数Iの図形と計量の中心的な道具であり、正弦定理・余弦定理・内接円の半径など多くの公式と結びついています。さらに数Bのベクトルでは、外積の大きさとして同じ式が再登場します。「高さを角度で書き直した」——この理解があれば、公式を覚え直す必要がありません。