文字式を使った説明（証明）の書き方がわからない｜中2式の計算

「連続する2つの奇数の和は4の倍数になることを説明しなさい」。言いたいことは分かるのに、答案が書けない。中2で最初に出会う本格的な記述問題です。

書けない原因は、書き方に決まった型があることを知らないだけです。証明の答案は3行構成で、しかも順番が固定されています。

結論：答案は3行で書く

	書くこと	書き出しの例
1行目	文字でおく	「 を整数とすると、…と表される」
2行目	計算する	「和は 」
3行目	結論を言う	「 は整数だから、4の倍数である」

この3行から外れることはありません。難しいのは計算ではなく、1行目と3行目の書き方です。そこだけ型として覚えてしまいましょう。

実際に書いてみる

連続する2つの奇数の和は4の倍数になる。このことを説明しなさい。

1行目：文字でおく

奇数は と表せます（ は整数）。連続する次の奇数は2大きいので 。

を整数とすると、連続する2つの奇数は 、 と表される。

「 を整数とすると」を必ず書きます。これがないと、 が何なのか分からない答案になります。

2行目：計算する

ここが最重要です。「4の倍数だ」と言いたいのだから、4×（整数）の形に変形します。 で止めてはいけません。

言いたい形にくくり出す——これが証明の計算部分の目的です。

3行目：結論を言う

は整数だから、 は4の倍数である。

「 は整数だから」を必ず書きます。「4×何か」の「何か」が整数でなければ、4の倍数とは言えないからです。

これを省くと、答案としては減点対象になります。形だけの一言ですが、論理的には必要な一言です。

完成した答案

を整数とすると、連続する2つの奇数は 、 と表される。
このとき和は
は整数だから、 は4の倍数である。
よって、連続する2つの奇数の和は4の倍数である。

【検算】実際の数で確かめます。

2つの奇数	和	4で割ると
1, 3	4	1
3, 5	8	2
5, 7	12	3
, 1	0	0

すべて4で割り切れます。ただしこれは確認であって証明ではありません。証明は文字での計算のほうです。

「〜と表される」の型を覚える

1行目で使う表し方は、ほぼ決まっています。ここを覚えれば1行目で詰まりません。

表したいもの	式	注意
整数		—
偶数		2の倍数だから
奇数		でもよい
3の倍数		—
連続する2整数		—
連続する3整数		真ん中を にすると楽
連続する2つの奇数		差が2
2桁の自然数		位ごとに分ける

連続する3つの整数で真ん中を にするのは大事なコツです。 でも正しいのですが、和が となり一手増えます。真ん中を にすれば で終わります。

2種類の文字が必要なとき

独立して動く量が2つあるなら、文字も2つ使います。

2桁の自然数と、その十の位と一の位を入れ替えた数の和は11の倍数になる。説明しなさい。

十の位と一の位は独立に決まるので、別々の文字が必要です。

を整数とし、もとの数の十の位を 、一の位を とすると、もとの数は 、入れ替えた数は と表される。
このとき和は
は整数だから、 は11の倍数である。

【検算】。 で一致。、 で一致。

1つの文字で済ませようとすると失敗します。十の位と一の位に関係はないので、 だけでは表せません。

「〜は整数だから」を書く理由

この一言を省く人が非常に多いので、なぜ必要か説明します。

「4の倍数」とは「4×整数」の形で書ける数のことです。だから が4の倍数だと言うには、 が整数であることを確認する必要があります。

たとえば は4の倍数ではありません。かける相手が整数でなければ、倍数にならないのです。

が整数なら も整数——当たり前ですが、その当たり前を書くのが証明です。

形式的に見えますが、これが「証明を書く」という作業の中身です。当たり前のことを、抜けなく言葉にする。

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. 記述の型を教える時間と、計算を教える時間が競合するから

文字式の証明では、計算そのものは中1レベルです。難しいのは答案の書き方のほう。

ところが授業は問題を解く形で進むため、「なぜこの1行が必要か」を毎回説明する余裕は生まれにくい。結果として模範解答を写す形になり、型が身につく前に単元が終わるという構成になりやすいのです。

2. 「説明しなさい」と「証明しなさい」の違いが曖昧だから

中2の文字式の単元では「説明しなさい」、図形の単元では「証明しなさい」という表現が使われます。

言葉が違うため、別の作業だと受け取られやすい。実際には要求されていることはほぼ同じで、「文字でおく → 計算する → 結論を言う」という構造は共通です。

用語が単元ごとに違うという構成上の事情なので、同じ型で書けると知っておくだけで負担が減ります。

3. 「例をいくつも挙げる」答案が、部分的には正しく見えるから

、、 と並べる答案は、言いたいことは伝わります。だから完全な間違いには見えません。

しかしこれは証明ではありません。無限にある場合のうち3つを確かめただけだからです。

この違いは論理の問題であって計算の問題ではないため、計算練習をいくら積んでも身につきません。「例は反証にはなるが、証明にはならない」——この非対称性を一度理解する必要があります。

【検算】3つの確認

1. 言いたい形にくくれているか

• 4の倍数を示すなら の形
• 11の倍数を示すなら の形
• 偶数を示すなら の形

で止めていたら、まだ終わっていません。

2. かっこの中が整数だと書いたか

の について「整数だから」と書いたか。この一言が抜けると減点されます。

3. 数を入れて成り立つか

主張	文字式
連続2奇数の和
実際の値	—

すべて一致。負の数でも試すと、置き方の間違いが見つかりやすくなります。

よくあるミス

ミス1：例を並べて終わる

、…と書くだけでは証明になりません。必ず文字でおいて一般の場合を示します。

ミス2：「 を整数とすると」を書かない

いきなり と書き始める答案。 が何なのか宣言していないので不完全です。

ミス3：くくり出さずに終わる

のままでは「4の倍数」だと示せていません。 までもっていきます。

ミス4：「〜は整数だから」を省く

最後の一言が抜けるミス。倍数の定義に「整数倍」が含まれている以上、必要な記述です。

ミス5：文字が足りない

2桁の数を 1つで表そうとするミス。独立に動く量の数だけ文字が要ります。

練習問題

1. 連続する2つの整数の和は奇数になることを説明しなさい。
2. 連続する3つの整数の和は3の倍数になることを説明しなさい。
3. 2つの偶数の和は偶数になることを説明しなさい。
4. 2桁の自然数と、十の位と一の位を入れ替えた数の差は9の倍数になることを説明しなさい。
5. 連続する2つの奇数の積に1を足すと4の倍数になることを説明しなさい。

解答

1. を整数とすると2数は 。和は 。 は整数だから は奇数。検算： で ○
2. を整数とし、真ん中を とすると3数は 。和は 。 は整数だから3の倍数。検算： ○
3. を整数とすると2つの偶数は 。和は 。 は整数だから偶数。2つの偶数は独立なので文字も2つ
4. 。 は整数だから9の倍数。検算： ○
5. 2つの奇数を とすると、積に1を足した数は
   
   は整数だから4の倍数。検算：、 ○

まとめ

• 答案は3行構成。①文字でおく ②計算する ③結論を言う
• 1行目は「 を整数とすると」から始める。宣言を省かない
• 2行目は言いたい形にくくり出す。 ではなく
• 3行目は「 は整数だから」を必ず入れる。倍数の定義に必要
• 独立に動く量の数だけ文字を使う
• 連続する3整数は真ん中を にすると計算が短い
• 例をいくつ挙げても証明にならない。ただし1つでも反例があれば否定できる

この3行の型は、中2の図形の証明（仮定を書く→合同を示す→結論）、中3の相似の証明、高校の数学的帰納法や背理法まで、形を変えながら同じ骨組みで使い続けます。証明とは、当たり前のことを抜けなく順番に書く作業です。中2のここで型を持っておくと、以降の記述問題で「何を書けばいいか分からない」ということがなくなります。