ニュートン算の考え方がわからない｜中学受験特殊算

ニュートン算が難しいのは、減らしている間にも増え続けるからです。

仕事算では、仕事は減る一方でした。ニュートン算では草が生える・人が並ぶ・水が流れ込む——両方が同時に起こります。

結論：追いかけ算と同じ

（時間）＝（最初の量）÷（減らす速さ － 増える速さ）

旅人算の追いかけを思い出してください。速い人が遅い人に追いつく時間は

（最初の差）÷（速さの差）

まったく同じ形です。ニュートン算は「増える量を追いかけて消す」問題にすぎません。

やってみる1：窓口の行列

開場のとき、すでに300人が並んでいます。そのあとも毎分20人が新たに並びます。窓口1つで毎分30人を処理できるとき、行列は何分でなくなりますか。

1分あたり、行列は何人減るか

処理は30人、増えるのは20人。差し引き10人ずつ減ります。

30分です。

【検算1】30分間の合計で確かめます。

並んだ人数と処理した人数が一致 ○

【検算2】途中の10分後を見ます。行列は 人。毎分10人ずつ減っている ○

窓口を2つにすると

7.5分です。窓口が2倍でも時間は半分より短くなります。

【検算】、 ○

処理が追いつかないと終わらない

もし窓口の処理が毎分15人だったら

行列は毎分5人ずつ増えます。いつまでも終わりません。

減らす速さ ＞ 増える速さ でなければ、終わらない

答えが負になったら、この状況です。

やってみる2：速さが分からないとき

ある牧場の草を、牛10頭なら20日、牛15頭なら10日で食べ尽くします。牛25頭なら何日で食べ尽くしますか。草は毎日一定の量だけ生えます。

今度は草が生える量も、牛1頭が食べる量も分かりません。そこで

牛1頭が1日に食べる量を1とする

と決めます。全体を1とおいた仕事算と同じ発想です。

2つの条件を式にする

最初の草の量を 、1日に生える量を とします。

食べた量 ＝ 最初の草 ＋ 生えた草 なので

つまり 、。

差をとる

最初の草は100、毎日5ずつ生えます。

25頭なら

1日に減る量は 。

5日です。

【検算1】5日間の合計で確かめます。

一致 ○

【検算2】もとの2条件にも戻します。

どちらも成立 ○

【検算3】頭数が増えれば日数は短いはず。10頭で20日、15頭で10日、25頭で5日——順に短くなっています ○

なぜ「差をとる」とうまくいくのか

2つの式には同じ が入っています。引けばAが消えます。

残るのは だけ。

知りたくない量を、引き算で消す——これは連立方程式の加減法そのものです。

【検算】2つの条件の差 は、10日ぶんに生えた草にあたります。だから ○

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. 中学受験の応用問題として扱われるから

ニュートン算は教科書の必修内容ではありません。小学校の算数の配当時間で扱われる単元ではなく、入試向けの発展問題として登場します。

そのため体系的に習う機会が少なく、いきなり難問として出会うことになりがちです。

2. 旅人算とのつながりが示されにくいから

ニュートン算は「追いかけ算」の言い換えです。減らす速さが増える速さを追いかけて、最初の量を消す。

ところが名前が違うため、別の解法として扱われます。特殊算が名前ごとに分かれて並ぶ構成上、共通の形を見る場面が作られにくいのです。

3. 「1とおく」の応用が必要だから

牛1頭の食べる量を1とおく——これは仕事算で学んだ考え方の応用です。

ところが仕事算では全体を1とおき、ニュートン算では1頭あたりを1とおきます。何を1とおくかが変わるため、手順として覚えていると対応できません。

【検算】3つの方法

1. 合計で確かめる

（最初の量）＋（増えた量）＝（減らした量）になるか。

【検算】 ○

2. もとの条件すべてに戻す

2つの条件の両方を満たすか確かめます。片方だけでは不十分です。

【検算】 ○、 ○

3. 大小関係が妥当か

人手が増えれば時間は短くなります。また減らす速さが増える速さ以下なら終わりません。

【検算】25頭は5日、10頭は20日。頭数が増えて日数が短い ○

よくあるミス

ミス1：増える量を引き忘れる

減らす速さから増える速さを引きます。

ミス2：最初の量と増える量を混同する

最初の量は1回きり、増える量は毎分・毎日です。

ミス3：条件を1つしか使わない

未知数が2つなら条件も2つ必要です。

ミス4：単位を決めずに始める

牛1頭が1日に食べる量を1と決めてから式を立てます。

ミス5：人数と速さを取り違える

窓口2つなら処理速度は2倍です。

ミス6：終わらない場合を見落とす

負の答えが出たら、追いつけていません。

練習問題

1. 300人の行列に毎分20人が加わり、毎分30人を処理するとき、何分で行列が消えるか求めなさい。
2. 1で窓口を2つにしたときの時間を求めなさい。
3. 毎分15人しか処理できないとき、何が起こるか説明しなさい。
4. 牛10頭で20日、15頭で10日のとき、1日に生える草の量を求めなさい（牛1頭が1日に食べる量を1とする）。
5. 4の最初の草の量を求めなさい。
6. 牛25頭では何日かかるか求めなさい。
7. 6の答えを、もとの2つの条件で検算しなさい。

解答

1. 、30分
2. 、7.5分
3. 毎分5人ずつ増えるので、行列は永久になくならない
4. 5
5. 100
6. 5日
7. ○、 ○

まとめ

• ニュートン算は減らしながら増える問題
• 式は（最初の量）÷（減らす速さ－増える速さ）
• 正体は旅人算の追いかけ
• 速さが不明なら2つの条件から差をとって求める（加減法）
• 1人・1頭あたりを1とおくと式が立つ
• 検算は合計で確認／両方の条件に戻す／大小関係

ニュートン算という名前は難しそうですが、やっているのは「引き算で追いつく」ことだけです。増える量を毎回引いて、残りを消すのに何分かかるかを数える——旅人算が解けるなら、ニュートン算も解けます。