二次不等式の解を数直線で書けない｜数I二次関数

の解は または 。 の解は 。不等号の向きで答えの形が変わる——ここで混乱する人が非常に多い。

覚える必要はありません。グラフを描けば、どちらが「間」でどちらが「外」か一目で分かります。

結論：グラフが 軸のどちら側にあるかを読む

二次不等式は「 の符号を聞いている」と読み替えます。

不等式	読み替え	グラフで
	が正	グラフが 軸より上の部分
	が負	グラフが 軸より下の部分

下に凸の放物線で、 軸と2点 （）で交わるとき

• 軸より下になるのは2つの交点の間だけ …
• 軸より上になるのは外側2つ … または

下に凸だから、真ん中が沈んでいる——これがすべての根拠です。

なら「間」、 なら「外側2つ」

手順は3ステップ

1. とおいて解く（因数分解か解の公式）
2. グラフを描く（ 軸との交点を書き込む）
3. 不等号に合う部分を読む

ステップ2を飛ばすと必ず迷います。手描きの雑な図で構いません。

やってみる

を解きなさい。

ステップ1： より 。

ステップ2：下に凸の放物線が と で 軸を横切ります。

ステップ3： なので上にある部分——外側2つです。

または

【検算】3つの領域から1つずつ値を選んで代入します。

	領域		か
0	左（）		○
2.5	中（）		×
4	右（）		○

外側2つで正、間で負 ○。答えと一致しました。

境界も確認します。 で 。0なので を満たさない ○（等号を含まないので除外）

不等号が逆なら

を解きなさい。

同じグラフで下にある部分を読むだけです。

【検算】 で ○。 で なので不適 ○

等号がつく場合

や なら、境界を含めます。

不等式	解
	または
	または

境界では なので、等号がついていれば含めるだけです。

交わらない場合・接する場合

ここで多くの人が止まります。判別式で場合分けします。

（交わらない）

を解きなさい。

判別式は 。 軸と交わりません。下に凸なのでグラフ全体が 軸より上。

したがってすべての実数が解です。

【検算】平方完成すると 。最小値2で常に正 ○

いくつか代入します。 で 、 で3、 で 。すべて正 ○

不等号が逆なら： は解なし。グラフが 軸より下になることがないからです。

（接する）

を解きなさい。

です。2乗は必ず0以上で、0になるのは のときだけ。

したがって のすべての実数が解です。

【検算】 で 。 を満たさない ○。 で1、 で1。どちらも正 ○

不等号ごとの答えを整理します。

不等式	解
	すべての実数
	解なし
	のみ

4通りすべて答えが違います。ここは丁寧に確認してください。

の係数が負のとき

上に凸になるので、上下が逆転します。

を解きなさい。

両辺に をかけて下に凸に直すのが安全です。不等号の向きが逆になります。

これは先ほど解いた形。答えは。

【検算】もとの式で確かめます。 で

成り立ちます ○。 で なので不適 ○。 で なので不適 ○

係数を正にしてから解く——迷わないための定石です。

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. 「間」と「外」を公式として覚えようとするから

「 なら間、 なら外」は暗記できます。ところが上に凸の場合や、交わらない場合で崩れます。

グラフを描けば、どの場合も同じ手順です。暗記よりグラフのほうが応用が効きます。

2. グラフを描く手間が答案に現れないから

解答には「よって または 」とだけ書かれます。グラフを描いた過程は残りません。

この構造上、描かなくても点が同じなので、描かない習慣がつきやすい。ところが描かないと符号の読み取りを間違えます。

3. 「解なし」「すべての実数」が例外扱いになるから

練習問題の多くは 軸と2点で交わる場合です。 の場合は発展的な内容として後回しにされやすい。

ところが入試ではこの場合がよく出ます（「すべての実数で成り立つ条件」など）。4通り（）×3通り（ の符号）で12通りありますが、グラフを描けばすべて同じ手順で処理できます。

【検算】3つの方法

1. 各領域から代表値を代入する

最も確実です。交点で区切られた領域から1つずつ選びます。

不等式	領域	代表値	符号
		→ 6	正
		→	負
		→ 2	正

符号が正・負・正と交互になっているのが正常です。

2. 境界を確認する

境界では必ず0になります。等号の有無で含めるかが決まります。

3. 判別式で場合を確認する

• … 領域は3つ
• … 領域は2つ（接点で分かれる）
• … 領域は1つ（全体が同じ符号）

【検算】 は 。全体で正の1領域 ○

よくあるミス

ミス1：「間」と「外」を逆にする

下に凸なら、真ん中が沈んでいるので が間です。グラフを描けば間違えません。

ミス2：上に凸のときに向きを直さない

倍して係数を正にするのが安全です。不等号の向きも逆にするのを忘れずに。

ミス3： のときに「解なし」と決めつける

不等号の向きによります。 ならすべての実数、 なら解なしです。

ミス4：接する場合に の形を書き忘れる

の解は。「すべての実数」ではありません。

ミス5：「または」を「かつ」と書く

外側2つは「または」です。「かつ」だと解が空になります。

練習問題

1. を解きなさい。
2. を解きなさい。
3. を解きなさい。
4. を解きなさい。
5. を解きなさい。
6. を解きなさい。

解答

1. より交点は 。 なので外側で または 。検算： で12>0 ○、 で ○
2. 同じ交点で なので間（境界を含む）。
3. 判別式 で下に凸。すべての実数。検算： で最小値4 ○
4. 同じく交わらないので解なし
5. はすべての実数（2乗は常に0以上）
6. 倍して 。 より。検算： でもとの式は ○

まとめ

• 二次不等式は「 の符号」を聞いている
• 手順は① で解く ②グラフを描く ③符号を読む
• 下に凸で2点で交わるなら は間、 は外側2つ
• 等号がつけば境界を含める
• なら ですべての実数、 で解なし
• なら で、 で1点のみ
• 係数が負なら 倍して正に直す（不等号の向きも逆に）
• 検算は各領域から代表値を代入。符号が正・負・正と交互になる

二次不等式は、数IIの領域、数IIIの関数の増減、そして解の配置や最大最小の問題の中で繰り返し使われます。「不等式はグラフの符号を読む作業」——この見方に切り替えれば、公式を覚えずにすべての場合に対応できます。