文章題で「解が問題に合わない」場合の処理｜中3二次方程式

二次方程式の文章題で、解が2つ出た。両方とも答えていいのか、片方だけなのか。

ここで迷って点を落とす人が非常に多い。しかも答案に「不適」と書かないだけで減点されることもあります。この処理を解の吟味といい、手順は完全に決まっています。

結論：現実の条件に合うかを1つずつ確認する

二次方程式は数学的には2つの解を持ちます。しかし文章題では、現実の条件を満たさない解が混ざることがあります。

手順はこうです。

1. 方程式を解いてすべての解を出す
2. 解ごとに問題の条件を満たすか確認する
3. 満たさないものは「問題に適さない」と明記して捨てる
4. 残ったものを答える

ステップ3を書かないと減点されます。捨てたことを答案に残すのが作法です。

捨てる理由は3種類しかない

チェックすべき条件は、実はほぼ3つに絞れます。

条件	捨てる場合	例
正でなければならない	0以下の解	長さ・人数・個数・値段
整数でなければならない	分数・小数の解	人数・個数・回数
範囲がある	範囲外の解	「もとの長さより短い」など

問題文が何を求めているかを見れば、どの条件かが決まります。「長さ」なら正、「人数」なら正の整数。

型1：長さは正でなければならない

縦が横より3cm長い長方形がある。面積が40cm²のとき、横の長さを求めなさい。

横を cmとすると縦は cm。面積の式は

解は。

吟味します。 は長さなので正でなければなりません。

• … 長さが負になるので問題に適さない
• … 適する

答えは横が5cmです。

【検算】横5cm、縦8cm。面積は ○。差は ○。両方の条件を満たしています。

答案の書き方：「 より は問題に適さない。よって 」——この一文を必ず書きます。

型2：整数でなければならない

ある正の整数と、それより3大きい整数の積が54である。もとの整数を求めなさい。

解は 。

「正の整数」という条件があるので、 は不適。答えは6です。

【検算】 ○

整数でない解が出る場合

解が分数になったときも、問題が整数を求めているなら不適です。

ただしこの場合、立式を疑うほうが先です。整数を求める問題で分数解しか出ないなら、式が間違っている可能性が高い。

「両方とも不適になったら、立式を見直す」——これは重要な判断です。

型3：範囲の条件がある

縦12cm、横16cmの長方形の紙がある。四すみから1辺 cmの正方形を切り取って、ふたのない箱を作る。底面積が cm²になるときの を求めなさい。

底面は縦 、横 の長方形です。

展開して整理します。

4で割って

解は 。

吟味します。切り取る正方形の1辺には範囲があります。

• （長さだから）
• つまり （縦が残らないといけない）

したがって。

• … 範囲内。適する
• … 範囲外（ を超える）。不適

答えは です。

【検算】 なら底面は cmと cm。面積は ○

だと： cm。長さが負になり、そもそも図が描けません ○（不適だと確認できました）

この型では、範囲を先に書き出しておくのが確実です。立式のときに一緒に書いておけば、吟味を忘れません。

両方が答えになる場合もある

すべての解が不適とは限りません。両方が条件を満たすこともあります。

連続する2つの正の整数の積が72である。2つの整数を求めなさい。

。正の整数という条件から 。答えは8と9です。

ここでは片方だけですが、問題によっては両方残ります。

ある数を2乗すると、その数の4倍より5大きくなる。ある数を求めなさい。

。「ある数」に正という条件はありません。

【検算】 で ○。 で ○。両方とも正しいので、答えは5と 。

「1つだけが答え」と思い込まないでください。条件がなければ両方が答えです。

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. 吟味が「計算の後の作業」に見えるから

方程式を解いた時点で数学的な作業は終わったように感じます。吟味はおまけのように見える。

ところが吟味は数学の一部です。「方程式の解」と「問題の答え」は別のもので、翻訳し直す作業が必要です。

この違いが伝わらないと、吟味を書かずに答えだけ書くことになります。

2. 中1・中2の文章題では吟味が不要だったから

一次方程式の文章題では、解が1つしか出ません。だから吟味の必要が構造上ありませんでした。

二次方程式で初めて「解が複数出て、選ぶ必要がある」という状況になります。それまでの2年間で身についた習慣（解いたら答え）が、ここで通用しなくなる——習慣の切り替えが必要な場面です。

3. 「不適」と書く必要性が結果に現れないから

答えの数値は、書いても書かなくても同じです。「不適」の一文は、答案の記述としてのみ意味を持ちます。

したがって自己採点では減点に気づけません。数値が合っていれば丸をつけてしまう。実際の採点では減点されるのに、その事実が本人に伝わらない構造になっています。

対策は「不適」を書くと決めてしまうことです。捨てた解があるなら必ず1行書く——習慣にすれば忘れません。

【検算】3つの確認

1. すべての解を問題文に戻す

方程式ではなく、問題文の日本語に戻します。

問題	解	吟味
長方形の横（面積40）		は長さが負で不適
箱の切り取り（底面60）		は で不適
ある数（）		両方とも適する

2. 範囲を先に書いておく

立式の段階で のように書いておけば、吟味が機械的に済みます。

とくに「切り取る」「削る」タイプの問題は、必ず上限があります。

3. 両方不適なら立式を疑う

すべての解が不適になったら、答えが存在しないことになります。文章題でそれは通常ありえません。

立式か計算のどこかが間違っていると判断して、最初から見直してください。

よくあるミス

ミス1：吟味せずに両方答える

長さに負の解を含めてしまうミス。必ず1つずつ確認します。

ミス2：「不適」と書かずに捨てる

捨てたことを答案に書きます。「 より は問題に適さない」の一文が必要です。

ミス3：上限の条件を見落とす

「切り取る」問題では のような上限があります。正であることだけ見ていると見落とします。

ミス4：条件がないのに片方を捨てる

「ある数」のように制限がない場合は両方が答えです。反射的に負の解を捨てないでください。

ミス5：答えるものを間違える

は横の長さでも、聞かれているのが縦なら を答えます。「何を と置いたか」を確認してから答えてください。

練習問題

1. ある正の数と、それより5大きい数の積が36である。ある数を求めなさい。
2. 縦が横より4cm短い長方形の面積が96cm²である。横の長さを求めなさい。
3. ある数を2乗すると、その数の3倍より10大きい。ある数をすべて求めなさい。
4. 縦10cm、横14cmの紙の四すみから1辺 cmの正方形を切り取る。 のとりうる範囲を答えなさい。
5. 4で、底面積が48cm²になるときの を求めなさい。
6. 連続する2つの正の整数の積が110である。2つの整数を求めなさい。

解答

1. より 、。正の数という条件から は不適。答えは4。検算： ○
2. 横を として 。、、。 は不適。横は12cm。検算： ○
3. より 、 の両方。検算： ○、 ○。条件がないので両方が答え
4. かつ より。短いほうの辺で決まります
5. 。、、。判別式は で平方数でないので公式を使い 。 なので または 。範囲 から 。検算：、、積は約48 ○
6. より 、。正の整数なので 。答えは10と11。検算： ○

まとめ

• 方程式の解と問題の答えは別物。吟味という翻訳作業が必要
• 捨てる理由は正であること・整数であること・範囲の3つ
• 「不適」と答案に書く。書かないと減点される
• 「切り取る」型は上限がある。立式時に範囲を書いておく
• 条件がなければ両方が答え。反射的に負を捨てない
• すべて不適なら立式を疑う
• 検算は問題文の日本語に戻す

「数学的な解のうち、現実の条件を満たすものだけを取る」という作業は、高校では定義域・値域の確認として標準になります。三角方程式で角の範囲を確認する、対数方程式で真数条件を確認する、微分で増減表の範囲を切る——どれも同じ吟味です。中3のここで「解いたら終わりではない」という習慣を作っておくことが、その先すべてに効きます。