二重根号の外し方の条件がわからない｜数I数と式

を簡単にせよ——√の中に√がある。二重根号と呼ばれるこの形は、公式を覚えていても「外せるとき」と「外せないとき」の区別で止まります。

実は公式を覚える必要はありません。逆から作れば、その場で導けます。

結論：2乗した形に戻す

二重根号が外せるのは、√の中身が「何かの2乗」になっているときだけです。

出発点はこの展開です。

つまり

これが二重根号の公式の正体です。覚えるのは「 を展開すると内側の√が出る」——それだけ。

使い方：たして 、かけて

の形を見たら

たして 、かけて になる2数 を探す

見つかれば が答えです。

を簡単にしなさい。

、。たして5、かけて6の2数は2と3。

【検算】2乗して戻します。

元に戻りました ○

数値でも確かめます。 なので 。その平方根は約 。

一方 。一致 ○

マイナスの場合

なら、同じ2数を使って

大きいほうから小さいほうを引きます。逆にすると負になり、√の値としてありえません。

【検算】 なら 。

元の式は の平方根で約 。一致 ○

は負なので、√の値としては不適です。

係数が2でないときは2にそろえる

公式が使えるのは内側の係数が2のときです。違う場合は変形します。

を簡単にしなさい。

係数が4なので、2でくくり直します。

これで の形。たして7、かけて12の2数は3と4。

【検算】2乗します。

一致 ○。数値では 、元は ○

係数が奇数のとき

を簡単にしなさい。

内側の係数が1です。2にするために、全体を 倍します。

分子の内側の係数が2になりました。

したがって

たして8、かけて12の2数は2と6。

【検算】2乗します。。

そして なので、確かに ○

数値でも 、元は ○

外せない場合がある

ここが本題です。すべての二重根号が外せるわけではありません。

は外せるか。

たして5、かけて5の2数を探します。この2数は の解で

無理数になりました。 が有理数にならないので、きれいな形には外せません。

外せる条件ははっきりしています。

が外せる ⇔ が平方数

理由は、 が の解なので、判別式 が平方数なら有理数解になるからです。

【検算】いくつか判定します。

式		平方数か	外せるか
		○	外せる
		○	外せる
		○	外せる
		×	外せない
		×	外せない

判別式を先に計算すれば、探す前に判定できます。外せない問題に時間を使わずに済みます。

【検算】 を実際に外します。たして8、かけて15は3と5。

2乗すると ○

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. 公式の形だけが提示されやすいから

はそのまま使える形です。ところがこの形を覚えると、内側の係数が2でないときに詰まります。

「 を展開しただけ」と理解していれば、係数が違っても自分で調整できます。

2. 「外せない場合」が扱われにくいから

練習問題は外せるものが中心です。すると「必ず外せるはず」と思い込み、外せない問題で延々と探し続けることになります。

ところが実際には外せない二重根号のほうが多いのです。判別式 が平方数か——この判定を先にすれば、無駄な時間を使いません。

3. 数Iの範囲で扱いが軽いから

二重根号は数Iの「実数」の中の一項目です。平方根の計算・有理化・絶対値といった内容と並ぶ中で、分量として大きくは扱われません。

ところが入試では単独で1問出ることがあり、しかも係数の調整という一手が必要です。扱われる分量と、出題時の要求水準が釣り合っていない項目です。

【検算】2乗して戻す

二重根号の検算は2乗すること——これ一択です。逆の操作なので必ず元に戻ります。

答え	2乗すると	元
		一致 ○
		一致 ○
		一致 ○
		一致 ○

数値での確認も有効です。

• 、、
• 、 ○

符号の確認も忘れずに。√の値は必ず0以上なので、 の形なら でなければなりません。

よくあるミス

ミス1：内側の係数が2でないのにそのまま使う

係数を2にそろえてから公式を使います。 のように変形します。

ミス2：マイナスのとき順序を逆にする

は です。逆にすると負になり、√の値としてありえません。

ミス3：外せない問題を探し続ける

が平方数かを先に確認します。平方数でなければ外せません。

ミス4： と混同する

これは成り立ちません。二重根号の公式は内側に がある場合だけの話です。

ミス5：たしてかけての順序を逆にする

たして （外側の数）、かけて （内側の√の中） です。

練習問題

1. を簡単にしなさい。
2. を簡単にしなさい。
3. を簡単にしなさい。
4. を簡単にしなさい（係数に注意）。
5. は外せるか。判別式で判定しなさい。
6. 1の答えを2乗して検算しなさい。

解答

1. たして7・かけて10は2と5。。判別式 で外せます ○
2. たして9・かけて14は2と7。大きいほうを先にして。検算： ○
3. たして6・かけて5は1と5。。検算： ○
4. なので、たして11・かけて28の2数は4と7。。検算： ○
5. 、 で 。8は平方数でないので外せません
6. 。元に戻りました ○

まとめ

• 根拠は。公式は覚えなくてよい
• 手順はたして 、かけて の2数を探す
• 内側の係数が2でなければ2にそろえてから使う
• マイナスのときは（）。負にならない順序で
• 外せる条件は が平方数。先に判定すれば無駄がない
• 検算は2乗して元に戻るか／数値で確認

二重根号は、「逆から作れば導ける」という発想の典型例です。展開の形を1つ知っていれば、公式を覚えずに済む。この考え方は、三角関数の合成、部分分数分解、積分の置換など、高校数学のあらゆる公式に応用できます。公式を暗記する前に、どこから来たのかを1回だけ確認する——それだけで覚える量が大きく減ります。