二項定理の一般項の作り方｜数II式と証明

二項定理でつまずくのは、たいてい公式そのものではありません。「 と に何を入れるのか」で間違えます。

なら 、。係数も符号も、まるごと に含めます。ここを外すと、あとの計算がすべて狂います。

結論：一般項は1つだけ覚える

の一般項　

手順は4つです。

1. を確定する（係数と符号も含めて）
2. 一般項をそのまま書く
3. 指数を計算して を決める
4. を代入する

ステップ3が本体です。「求めたい項の形になるのは がいくつのときか」を式で出します。

なぜ が出てくるのか

は、同じかっこを 個かけたものです。

　←　 個

展開するとき、各かっこから か のどちらかを1つずつ選んでかけ合わせます。

を 個選べば、残りの 個からは を選ぶことになるので、その積は

そして 個のかっこのうち、どの 個から を選ぶか——その選び方が

これが係数の正体です。同じ形の項が 個できるから、まとめると係数になる。

小さい例で確かめる

を、選び方で数えます。

の個数	選び方	項
0
1
2
3

【検算】実際に展開すると ○　一致しました。

やってみる1： の の係数

ステップ1： を決める

、、。

ステップ2：一般項を書く

ステップ3： を決める

がほしいので 、つまり。

ステップ4：代入

係数は40です。

【検算】全部展開してみます。

の係数は40 ○

【検算2】係数の和で確かめます。 を代入すると

展開した式でも 。一致 ○

やってみる2： の の係数

ここが最重要です。、 と置きます。係数2と、符号つきの を含める。

がほしいので 、。

係数は216です。

【検算】指数の合計を確認します。 の次数2 の次数2 。 と一致 ○

【検算2】 を代入すると 。展開した各係数の和も1になるはずです（実際に展開すると で、）○

符号を落とすとどうなるか

もし としてしまうと、 が奇数の項の符号がすべて逆になります。今回は で偶数なので偶然合いますが、 の係数なら符号を間違えます。

やってみる3：定数項を求める

の展開式における定数項を求めよ。

、、。一般項は

指数をまとめるのがポイントです。定数項は の指数が0なので

定数項は15です。

【検算】 のとき ○　確かに定数項です。

【検算2】 は0以上6以下の整数でなければなりません。 は範囲内 ○　もし が分数や範囲外になったらそのような項は存在しないということです。

係数の和は代入で出る

すべての係数を足したいなら、文字に1を代入します。

【検算】： ○

を代入すると交互に足し引きした和が出ます。

【検算】： ○

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. パスカルの三角形で確認できてしまうから

係数はパスカルの三角形で目に見える形で得られます。数が小さいうちは、それで足ります。

そのため「なぜ なのか」——各かっこから選ぶという説明は、三角形の紹介に置き換わりやすい。次数が大きくなったり、 が複雑になった途端に手が止まります。

2. 「 に何を入れるか」は手順として書けないから

ステップ2〜4は機械的な計算です。ところがステップ1だけは式を見て判断する作業。

教科書の例題は が明示された形で示されることが多く、自分で切り分ける練習の場面が確保されにくい。実際に間違えるのはほぼここです。

3. 数Aの組合せから間があくから

を習うのは数Aの場合の数、二項定理は数IIの式と証明です。

その間に確率・図形の性質・整数の性質が挟まります。「かっこから選ぶ」という組合せの発想を思い出す場面が、数IIの構成には含まれにくいため、 がただの記号として現れることになりがちです。

【検算】3つの方法

1. 指数の合計が になっているか

当たり前ですが、最も速く効く検算です。

【検算】 の ： ○

2. 文字に1を代入して係数の和を比べる

展開した式の係数を全部足したものと、もとの式に1を代入した値が一致します。

【検算】：、 ○

3. が0以上 以下の整数か

分数や範囲外なら、その項は存在しません。

【検算】定数項の問題： より 。整数で範囲内 ○

よくあるミス

ミス1：係数を に含めない

で としてしまう。 です。

ミス2：符号を落とす

。マイナスごと入れます。

ミス3： と を取り違える

は の個数です。 の指数が 。

ミス4：指数の計算を途中でやめる

までまとめてから を決めます。

ミス5：「第 項」と「 」を混同する

は第 項です。 が第1項。

ミス6：存在しない項を無理に求める

が整数にならなければその項は0です。

練習問題

1. の の係数を求めなさい。
2. の の係数を求めなさい。
3. の定数項を求めなさい。
4. の係数の和を求めなさい。
5. の の係数を求めなさい。
6. の の係数を求めなさい。
7. を求めなさい。
8. の の係数を求めなさい。

解答

1. より 。40
2. より 。216。検算：次数 ○
3. より 。15
4. を代入して 243。検算： ○
5. として 15。検算： ○
6. より 。240。検算： が偶数なので符号は正 ○
7. 64。検算： ○
8. より 。。検算： が奇数なので負 ○

まとめ

• 一般項は の1つだけ
• が出るのは各かっこから をどの 個で選ぶかだから
• には係数も符号もまるごと入れる（最大の落とし穴）
• 手順は① 決定 ②一般項 ③指数から ④代入
• 定数項は指数をまとめてから0とおく
• 係数の和は1を代入（ や が出る）
• 検算は指数の合計が ／1を代入／ が整数で範囲内か

二項定理は「展開すると何が何個できるか」を数え上げているだけです。数Aの組合せがそのまま代数の道具になっている——この見方に立てば、 の多項定理も同じものを含む順列そのものだと分かります。公式が増えているのではなく、同じ考え方が形を変えているだけです。