座標平面上の2点間の距離と図形の判定｜中3三平方の定理

座標平面上の2点間の距離——公式として覚えている人が多いですが、正体は三平方の定理そのものです。

横の差と縦の差を2辺とする直角三角形の、斜辺

公式を忘れても、図をかけば必ず作り直せます。

距離の求め方

A(1,2)とB(4,6)の距離を求めなさい。

横の差は 、縦の差は 。

この2つを直角をはさむ2辺とすると、ABは斜辺です。

5です。

【検算】3・4・5は有名な直角三角形の辺の比 ○　図をかいても、AとBは横に3・縦に4だけ離れています。

（ABの2乗）＝（xの差の2乗）＋（yの差の2乗）

差はどちらから引いても、2乗すれば同じです。符号を気にする必要はありません。

コツ：2乗のまま比べる

図形を判定するとき、√を外す必要はありません。

2辺が等しいかどうかは、2乗どうしが等しいかで判定できます。長さが正である限り、2乗が等しい＝長さが等しいからです。

計算が一気に楽になります。

やってみる1：二等辺三角形の判定

A(0,0)、B(6,0)、C(3,4)はどんな三角形ですか。

なので 。

BC＝CAの二等辺三角形です。

【検算1】直角三角形かどうかも調べます。最長辺はAB（36）なので

直角三角形ではありません ○

【検算2】Cはx座標が3で、AとBの中点（3,0）の真上にあります。左右対称——二等辺三角形と合います ○

やってみる2：直角三角形の判定

A(1,1)、B(5,3)、C(3,7)はどんな三角形ですか。

最長はCA。三平方が成り立つか確かめます。

成立——∠Bが直角です。しかも なので

直角二等辺三角形

【検算1】面積を2通りで求めます。直角をはさむ2辺を使うと

【検算2】座標から直接（囲む長方形から引く方法）計算しても10になります ○

【検算3】直角がどこかを確かめるため、他の組み合わせも試します。

∠Aは直角ではありません ○　直角は最長辺の向かい側にあります。

やってみる3：平行四辺形の判定

A(0,0)、B(4,1)、C(6,5)、D(2,4)はどんな四角形ですか。

向かい合う辺を比べる

AからBへは右4・上1。DからCへは で右4・上1。

向きも長さも同じ——AB と DC は平行で等しい。だから平行四辺形です。

【検算1】対角線の中点を比べます。

ACの中点は

BDの中点は

一致 ○　対角線が互いを2等分するので平行四辺形です。

【検算2】ひし形かどうかも調べます。

となり合う辺の長さが違うのでひし形ではありません ○

やってみる4：円の上にあるか

中心(2,3)、半径5の円の上に、点(5,7)はありますか。

半径の2乗は なのでぴったり円の上です。

【検算】点(6,7)なら で円の外。点(4,4)なら で円の内側 ○

判定の早見表

調べたいこと	やること
二等辺三角形	3辺の2乗を出し、2つが等しいか
直角三角形	最長辺の2乗＝他2辺の2乗の和 か
正三角形	3辺の2乗がすべて等しいか
平行四辺形	向かい合う辺の差のベクトルが同じか
円の内外	中心からの距離の2乗と半径の2乗を比べる

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. 距離が「公式」として提示されるから

2点間の距離は式の形で覚えられます。使えば答えは出ます。

ところが三平方の定理の言い換えだと分かっていないと、忘れたときに作り直せません。横の差と縦の差で直角三角形を作る——この図を思い出せるかどうかです。

2. 「2乗のまま比べる」は実務的な工夫だから

教科書では長さを求めることが目標になります。だから√を外して答えます。

しかし比べるだけなら2乗のままでよい。これは解く速さに直結する工夫ですが、公式の説明とは別の話なので扱われにくいのです。

3. 座標を使った図形の判定は高校の内容だから

座標平面で図形を扱う分野は数II「図形と方程式」として体系化されます。

中学3年では三平方の応用として部分的に登場するだけ。まとまった練習の場がないため、初見の問題で戸惑いやすいのです。

【検算】3つの方法

1. 図をかいて、長さの見当をつける

最も基本です。方眼にとれば目で確かめられます。

【検算】横3・縦4なら斜辺は5前後 ○

2. 直角の位置を他の組み合わせでも確かめる

最長辺の向かい側にあるはずです。

【検算】 なので∠Aは直角でない ○

3. 面積を2通りで求める

【検算】直角をはさむ2辺からも、座標からも10 ○

よくあるミス

ミス1：引く順序を気にして符号を間違える

2乗すれば同じです。

ミス2：√を外してから比べる

2乗のまま比べれば十分です。

ミス3：最長辺を取り違える

2乗が最大のものが最長辺です。

ミス4：直角の位置を間違える

最長辺の向かい側です。

ミス5：平行四辺形の判定で長さだけ見る

向き（傾き）も同じか確認します。

ミス6：円の内外で半径を2乗し忘れる

両方を2乗して比べます。

練習問題

1. A(1,2)とB(4,6)の距離を求めなさい。
2. A(0,0)、B(6,0)、C(3,4)の3辺の2乗を求めなさい。
3. 2はどんな三角形か答えなさい。
4. A(1,1)、B(5,3)、C(3,7)の3辺の2乗を求めなさい。
5. 4はどんな三角形か答えなさい。
6. A(0,0)、B(4,1)、C(6,5)、D(2,4)が平行四辺形である理由を答えなさい。
7. 中心(2,3)・半径5の円と点(5,7)の位置関係を答えなさい。

解答

1. 5
2. 、、
3. なので二等辺三角形
4. 、、
5. かつ なので直角二等辺三角形
6. ABとDCが同じ向き・同じ長さ（対角線の中点も一致）
7. なので円周上

まとめ

• 2点間の距離は三平方の定理（横の差・縦の差が2辺）
• 判定は2乗のまま比べれば速い
• 直角は最長辺の向かい側
• 平行四辺形は向かい合う辺の向きと長さ／対角線の中点
• 円の内外は距離の2乗と半径の2乗
• 検算は図で見当／他の組み合わせ／面積を2通り

座標と図形が結びつくと、定規を使わずに図形の性質が調べられるようになります。高校の「図形と方程式」は、この延長線上にあります。いま「距離＝三平方」と腹落ちさせておけば、その先がずっと楽になります。