n進法の変換で混乱する｜数A整数

n進法で混乱する原因は、はっきりしています。変換の向きが2つあって、やることが正反対だからです。

片方はかけて足す、もう片方は割って余りを取る。どちらをいつ使うのかを、毎回考えるから迷う。

結論：10進法に「する」か「から」かで決まる

向き	やること	読む順
n進法 → 10進法	位の値をかけて足す	上の位から
10進法 → n進法	n で割って余りを取る	下から上へ

「10進法にするときは、かけて足す」——これだけ覚えれば、もう一方は自動的に決まります。

n進法 → 10進法：かけて足す

2進法の を10進法にします。位の値は右から 。

11です。

5進法の なら、位の値は右から 。

89です。

【検算】桁数から見当をつけます。5進法で3桁なら、 以上 未満のはずです。

89はこの範囲に入っています ○

10進法 → n進法：割って余り

11を2進法にします。2で割って余りを記録するを繰り返します。

割られる数	商	余り
11	5	1
5	2	1
2	1	0
1	0	1

余りを下から上へ読んで 。

【検算】かけて足すと ○　もとに戻りました。

89を5進法に

割られる数	商	余り
89	17	4
17	3	2
3	0	3

下から読んで 。【検算】 ○

なぜ余りが一の位になるのか

ここが理解の中心です。n進法で表された数は

という形をしています。これを で割ってみます。

以外の項はすべて の倍数です（ を含むから）。しかも は 以上 未満。

したがって

を で割った余りが、そのまま一の位

そして商は

各位が1つずつ下にずれた形になっています。だから同じことを商に対して繰り返せば、次の位が出る。

【検算】11の場合で確かめます。。

2で割ると余り1（＝一の位）、商は5。そして で、確かに位が1つずれた形になっています ○

n進法どうしの変換は10進法を経由する

を5進法で表せ。

直接やろうとしないこと。一度10進法にします。

11を5進法に。 余り 、 余り 。下から読んで 。

【検算】 ○

小数のとき

小数点以下の位の値は です。

逆向きは「かけて整数部分を取る」

0.625を2進法にします。2をかけて、整数部分を記録します。

計算	結果	取り出す	残り
	1.25	1	0.25
	0.5	0	0.5
	1.0	1	0

上から読んで 。整数部分とは読む向きが逆なので注意してください。

【検算】 ○

使える数字は から まで

5進法に「5」は出てきません。使えるのは だけ。

2進法なら のみ。答えに 以上の数字が出たら、必ずどこかが間違っています。

【検算】 の各桁は 。すべて4以下 ○

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. 手順が2つあり、作業として教えれば足りてしまうから

「かけて足す」「割って余りを下から読む」——この2つを示せば問題は解けます。

そのため「なぜ余りが一の位になるのか」という説明に時間が配分されにくい。しかしここを飛ばすと下から読む理由も分からず、読む向きを毎回間違えることになります。

2. 整数の性質の最後の項目に置かれやすいから

約数と倍数、互除法、不定方程式、合同式と続いたいちばん最後に来ます。

学年末に近い時期の、単元の末尾という二重の意味で時間が確保しにくい位置にあり、手順の提示で終わりやすい構成です。

3. 情報科目で扱う2進法と、教科が分かれているから

コンピュータが2進法を使うことは情報の科目で扱われます。数学では純粋に数の表し方として出てきます。

両者は同じ内容ですが別の教科で別の文脈のため、「なぜこれを学ぶのか」がつながりにくい。動機づけが弱いまま手順だけ覚える形になりやすい部分です。

【検算】3つの方法

1. 逆向きに変換して戻るか

最も確実です。n進法にしたら、かけて足してもとの数に戻るか確かめます。

【検算】 ○、 ○

2. 桁数の見当をつける

n進法で 桁　⇔　

【検算】11を2進法に： なので4桁。 は4桁 ○

3. 各桁が 以上 未満か

以上の数字が出たら誤りです。

【検算】 の各桁は 。すべて2以下 ○

よくあるミス

ミス1：余りを上から読む

下から上へ読みます。最初に出た余りが一の位だからです。

ミス2：小数部分も下から読む

小数は上からです。整数部分と逆向きになります。

ミス3：商が0になる前にやめる

商が0になるまで割り続けます。

ミス4： 以上の数字を使う

5進法に5は出てきません。繰り上がりを忘れています。

ミス5：位の値を間違える

右から です。いちばん右は必ず （）。

ミス6：n進法どうしを直接変換しようとする

10進法を経由するのが確実で速い。

練習問題

1. を10進法で表しなさい。
2. 11を2進法で表しなさい。
3. を10進法で表しなさい。
4. 89を5進法で表しなさい。
5. を5進法で表しなさい。
6. を10進法で表しなさい。
7. 100を2進法で表しなさい。
8. 100を3進法で表しなさい。

解答

1. 11
2. 余りは順に 。下から読んで。検算： で4桁 ○
3. 89
4. 余りは順に 。下から読んで。検算： で3桁 ○
5. 10進法で11。 より。検算： ○
6. 0.625
7. より。検算： で7桁 ○
8. 余りは順に 。下から読んで。検算： ○

まとめ

• 10進法にするときは、かけて足す（位の値は右から ）
• 10進法からn進法にするときは、割って余りを下から読む
• 余りが一の位になるのは他の項がすべて の倍数だから
• 小数は「かけて整数部分」で、上から読む
• 使える数字は から まで
• n進法どうしは10進法を経由する
• 検算は逆変換で戻る／桁数の範囲／各桁が 未満

「割って余りを取る」という操作は、互除法でも合同式でも同じように出てきました。n進法もその仲間です。数を で割った余りで一の位が決まり、商に同じことを繰り返す——1つの操作を繰り返して構造を取り出すという、整数分野に共通する考え方がここにも現れています。