円とおうぎ形の複合図形の面積｜中学受験平面図形

円やおうぎ形が組み合わさった図形は、足し算と引き算に分解するだけです。

知っている形の、足し引きで表せないか

もう1つ大事なのが3.14のかけ算を1回にまとめること。計算量が半分以下になります。

基本の道具

図形	面積
円	半径×半径×3.14
半円	半径×半径×3.14÷2
四分円	半径×半径×3.14÷4
おうぎ形	半径×半径×3.14×（中心角÷360）

やってみる1：引く型

1辺10cmの正方形に、ぴったり入る円をかきます。正方形から円を除いた部分（4すみ）の面積を求めなさい。

円の半径は5cmです。

21.5平方センチメートルです。

【検算1】円は正方形の何割か——。約8割。残り2割ちょっとが4すみ ○　図の見た目と合います。

【検算2】4すみは1つあたり 平方センチメートル。1辺5cmの正方形（25）よりずっと小さい ○

やってみる2：葉っぱ型（重なり）

1辺10cmの正方形で、左下の頂点と右上の頂点をそれぞれ中心として、半径10cmの四分円を2つかきます。2つが重なった部分（葉っぱ型）の面積を求めなさい。

考え方：2つ足して、正方形を引く

四分円を2つ足すと、重なった部分だけ2回数えた状態になります。

2つの四分円を合わせた図形は正方形をちょうど覆うので

（四分円2つ）－（正方形）＝（重なり）

計算

四分円1つは

2つで157。正方形を引いて

57平方センチメートルです。

【検算1】3.14をまとめて計算し直します。

一致 ○　3.14をかけるのは1回だけで済みます。

【検算2】葉っぱ型は弓形2つに分けられます。弓形1つは四分円から直角三角形を引いた形なので

まったく別の方法でも57 ○

【検算3】正方形100の約6割。図で見ても半分より少し大きい ○

やってみる3：おうぎ形の面積と弧

半径6cm、中心角60度のおうぎ形の面積と弧の長さを求めなさい。

60度は360度の です。

面積

弧の長さ

面積18.84平方センチメートル、弧6.28cmです。

【検算1】先に と約分してから3.14をかけました。大きな数のかけ算を避けられます ○

【検算2】まわりの長さを聞かれたら弧＋半径2本です。

面積と混同しないように ○

3.14の計算をまとめる

複合図形では、3.14を何度もかけたくなります。まとめてから1回にしましょう。

	計算
まとめない
まとめる

3.14のかけ算は1回だけ。計算ミスが激減します。

【検算】どちらも57 ○　答えは同じで、手間だけが違います。

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. 「計算の工夫」と「図形」が別の単元だから

分配法則を使ってまとめる——これは計算の単元の内容です。円の面積は図形の単元。

単元が分かれている構成上、図形の問題で計算の工夫を使う場面が示されにくいのです。結果として、3.14を何度もかけて時間を使うことになります。

2. 「重なり」の考え方が扱われないから

2つ足して重なりを引く——これは集合の考え方です。小学校の算数では、この形で整理する場面がありません。

そのため「なぜ正方形を引くのか」が図でしか説明できず、別の問題に応用しにくくなります。

3. 面積と周の長さが同時に出てくるから

おうぎ形では面積の公式と弧の長さの公式を、どちらも使います。似た形なので混ざりやすい。

「まわりの長さ」に半径2本が入ることも、図を見ないと気づきにくい。2つの量を並べて確認する場面が少ないのが実情です。

【検算】3つの方法

1. 3.14をまとめて計算し直す

順番を変えても同じ答えになるはずです。

【検算】、 ○

2. 別の分け方で解き直す

最も強い検算です。

【検算】葉っぱ型：足し引きで57、弓形2つでも57 ○

3. 全体に対する割合で見当をつける

正方形の何割かを考えます。

【検算】。半分より少し大きい ○　図と合っています

よくあるミス

ミス1：直径と半径を取り違える

1辺10cmに内接する円の半径は5cmです。

ミス2：3.14を何度もかける

まとめて1回にします。

ミス3：おうぎ形の周に半径を入れ忘れる

弧＋半径2本です。

ミス4：重なりを2回数える

足したら引く——包み込みの関係を確認します。

ミス5：中心角の分数を間違える

60度なら6分の1です。

ミス6：単位を書き忘れる

面積は平方センチメートル、長さはセンチメートルです。

練習問題

1. 1辺10cmの正方形に内接する円の面積を求めなさい。
2. 1の正方形から円を除いた部分の面積を求めなさい。
3. 半径10cmの四分円1つの面積を求めなさい。
4. 1辺10cmの正方形にできる葉っぱ型の面積を求めなさい。
5. 4を、弓形2つとして求め直しなさい。
6. 半径6cm・中心角60度のおうぎ形の面積と弧の長さを求めなさい。
7. 6のおうぎ形のまわりの長さを求めなさい。

解答

1. 78.5平方センチメートル
2. 21.5平方センチメートル
3. 78.5平方センチメートル
4. 57平方センチメートル
5. 57平方センチメートル ○
6. 面積18.84平方センチメートル、弧6.28cm
7. 18.28cm

まとめ

• 複合図形は知っている形の足し引きに分解する
• 重なりは2つ足して全体を引く
• 3.14は最後に1回だけかける
• おうぎ形は中心角÷360をかける
• まわりの長さは弧＋半径2本
• 検算はまとめ直す／別の分け方／割合で見当

複合図形の問題で手が止まったら、「この形は、何から何を引いた形か」と声に出してみてください。円・半円・四分円・三角形・正方形——使える部品は数えるほどしかありません。部品の組み合わせを探す作業だと分かれば、複雑に見える図も落ち着いて分解できます。