第2次導関数で凹凸と変曲点を調べる｜数III微分法

1回微分すると増減がわかります。もう1回微分すると曲がり方がわかります。

調べるもの	使う導関数
増える／減る	の符号
上に凸／下に凸	の符号

なら下に凸（谷型）、 なら上に凸（山型）

なぜ f” で曲がり方がわかるのか

は の変化を表します。 は接線の傾きなので

• ：傾きが増えていく——だんだん右上がりが急になる＝下に凸
• ：傾きが減っていく——だんだん右下がりに向かう＝上に凸

そして凹凸が入れかわる点を変曲点といいます。

やってみる：三次関数で調べる

の増減・凹凸を調べ、変曲点を求めなさい。

1回微分：増減

となるのは 。

で極大値2、 で極小値 です。

2回微分：凹凸

となるのは 。符号は

x
	負	0	正
形	上に凸	変曲点	下に凸

符号が変わっているので、 は変曲点です。

変曲点は です。

増減・凹凸をまとめる

x	0	1	2
	0	-3	0
	-6	0	6
	2（極大）	0（変曲点）	-2（極小）

【検算1】実際の値で凹凸を確かめます。下に凸なら、2点を結んだ線分は曲線より上にあります。

付近（下に凸のはず）で、 と の平均を取ります。

中点 での値は 。

曲線のほうが下——下に凸 ○

【検算2】 付近（上に凸のはず）でも同じことをします。

中点 での値は 。

曲線のほうが上——上に凸 ○　 の符号と一致します。

変曲点は対称の中心

三次関数のグラフは変曲点について点対称です。

【検算1】変曲点 から左右に同じだけ離れた点を調べます。

和がいつも0——変曲点の値 の2倍です ○　これが点対称の意味です。

【検算2】極大 と極小 の中点は

変曲点と一致 ○

f”=0 でも変曲点とは限らない

の は変曲点ですか。

で になります。しかし

符号が変わっていません。だから変曲点ではありません。

変曲点の条件は「」ではなく「 の符号が変わる」

【検算】 は原点の前後でずっと下に凸です。、、中点 。

下に凸のまま ○　曲がり方は変わっていません。

接線との位置関係でも確かめられる

下に凸なら、曲線は接線より上。上に凸なら、曲線は接線より下にあります。

の での接線は、 なので 。

どちらも より大きい——接線より上 ○　下に凸と一致します。

での接線は 。

どちらも2より小さい——接線より下 ○　上に凸と一致します。

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. 増減表だけで答えが出てしまうから

極値を求めるだけなら の符号で足ります。グラフの概形も、それらしく描けてしまう。

ところが凹凸を調べないと本当の形は分かりません。特に数IIIの複雑な関数では、凹凸が答えを左右します。

2. 表が2段になって複雑に見えるから

と の両方を並べると、表の行が増え、記号も増えます。

書くのに手間がかかるため、省略されやすい。しかし慣れれば機械的な作業です。

3. 「 は必要条件」という論理が難しいから

変曲点なら 。しかし逆は成り立ちません。

これは必要条件と十分条件の話で、数Iの集合と命題にあたります。単元が離れているため、同じ論理だと確認されにくいのです。

【検算】3つの方法

1. 3点の値で凹凸を確かめる

下に凸なら、両端の平均より中点の値が小さいはずです。

【検算】 ○

2. f” の符号が前後で変わるか

変わらなければ変曲点ではありません。

【検算】、 ○

3. 接線と比べる

【検算】 の接線 より、近くの点は上 ○

よくあるミス

ミス1： だけで変曲点と判断する

符号の変化を確かめます。

ミス2：凹凸の向きを逆にする

が下に凸です。

ミス3：変曲点の y 座標を書き忘れる

座標で答えます。

ミス4：極値と変曲点を混同する

極値は 、変曲点は です。

ミス5：増減表に凹凸を書かない

問われていれば必要です。

ミス6：2回微分を計算し間違える

もう一度微分して確かめます。

練習問題

1. の を求めなさい。
2. 極大値と極小値を求めなさい。
3. を求めなさい。
4. 変曲点の座標を求めなさい。
5. 極大点と極小点の中点が変曲点と一致することを確かめなさい。
6. の が変曲点でない理由を答えなさい。
7. 付近で曲線が接線より上にあることを確かめなさい。

解答

2. 極大 2、極小 -2
5. ○
6. で符号が変わらないから
7. 接線は 。 ○

まとめ

• は増減、 は凹凸
• は下に凸、 は上に凸
• 変曲点は の符号が変わる点
• だけでは不十分（ が反例）
• 三次関数は変曲点について点対称
• 検算は3点の値／符号の変化／接線との比較

を調べるのは「グラフを本当に描くため」です。増減だけでは、同じ増減でも形の違う曲線がいくつも描けてしまう。凹凸まで押さえて、はじめて曲線が1つに決まります。数IIIのグラフ問題では、ここが差になります。