A=B=C型の連立方程式が解けない｜中2連立方程式

。等号が2つある式を初めて見ると、どこから手をつけるのか分かりません。連立方程式は解けるのに、この形だけ止まる——中2でよくあるつまずきです。

実はこれ、ただの連立方程式を1行にまとめて書いただけです。分解の仕方さえ分かれば、あとはいつもどおりです。

結論：好きな2組に分ければいい

という式は、「 と と が全部等しい」という意味です。3つの量が等しいなら、そこから取り出せる等式は3通りあります。

　／　　／　

しかしこの3本のうち2本を選べば、残り1本は自動的に成り立ちます。 かつ なら、当然 だからです。

だから2本選んで連立方程式にすれば終わり。どの2本を選んでも同じ答えになります。

3通りの分け方

を例にします。、、 です。

選び方	できる連立方程式	特徴
		最も楽（右辺が数）
		1本目の整理が必要
		同上

おすすめは1つ目です。数だけの部分（）が入っている式は右辺が数字になるので、そのまま連立できます。

実際に解く

加法法で を消します（足すと が消える形になっています）。

に代入すると 、。

【検算】元の式に戻します。

3つとも5になりました。 が成り立っています。

別の分け方でも同じ答えになる

確かめてみます。 と を選ぶと

1本目を整理します。 より 、つまり 。

足すと 、。引くと 、。

同じ答えです。選び方は自由だと確認できました。

数だけの部分がないとき

のように、3つとも文字の式という場合もあります。

やることは変わりません。2組選んで整理するだけです。

： より

： より 、つまり

1本目を3倍して引くと 、、。すると 。

【検算】 を元の式に入れると、3つとも0。 で成り立ちます。

右辺が全部0になる連立（同次形）では、 が必ず解になります。この形が出てきたら、まずそれを疑ってください。

分数や小数が混じるとき

でも、分数があれば分けたあとに分母をはらうだけです。順番を守れば混乱しません。

1. まず2組に分ける
2. それぞれの式で分母をはらう／かっこを外す
3. いつもどおり連立を解く

分けるのが先です。3つ並んだまま分母をはらおうとすると、必ず事故が起きます。

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. 出題される頻度に対して、扱いが短いから

型は高校入試でよく出る形ですが、教科書での扱いは連立方程式の単元の中の一項目にとどまります。

加減法・代入法・文章題という主要な内容が並ぶ中で、この形だけに時間を割く構成にはなりにくい。結果として「見たことはあるが、自分で分けたことはない」という状態で通過しやすくなります。

2. 「どれを選んでもよい」という自由度が、かえって迷いを生むから

多くの問題には決まった手順があります。ところがこの形は3通りの分け方があり、どれでも正解です。

自由度があること自体は良いのですが、「正しい手順が1つあるはず」と思っている状態では、選択肢の多さが迷いになります。

対策は簡単です。「数だけの部分があれば、それと他の2つを組む」と自分の中で1つに決めてしまうこと。迷う余地をなくせば速くなります。

3. 等号が2つ並ぶ表記が、他の場面で使われないから

という書き方は、数学の他の場面ではあまり出てきません。計算過程で のように書くことはなく、通常は等号を1つずつ使います。

見慣れない表記であるため、「新しい種類の方程式だ」と受け取られやすい。実際にはただの省略記法で、連立方程式そのものです。

この形を見たら、心の中で3本の等式に展開する。それだけで通常の問題になります。

【検算】3つとも同じ値になるか

この形の検算は非常に明確です。求めた を3つの式すべてに入れて、全部同じ値になるか。

問題	解
		5	5	5
		0	0	0

2つだけ一致しても不十分です。3つとも確認してください。使った2組しか合わないなら、どこかで間違えています。

もう1つ、別の分け方で解き直すという検算もあります。3通りのうち2つで同じ答えが出れば、まず間違いありません。

よくあるミス

ミス1：等号を1つしか使わない

だけ解こうとするミス。式が1本では、文字2つは決まりません。

必ず2組つくる。これが出発点です。

ミス2：3本全部を連立させる

、、 を全部書いて3元連立にしようとするミス。3本目は最初の2本から自動的に出るので、書く必要はありません。

書いても間違いではありませんが、計算が増えるだけです。

ミス3：整理せずに連立する

をそのまま連立に入れると扱いにくい。先に の形まで整理してから加減法に進みます。

「移項して左辺にまとめる」を必ず1行書くのがコツです。

ミス4：検算を2つの式だけで済ませる

使った2組で合うのは当たり前です。使わなかった3本目でも確認してください。

練習問題

1. を解きなさい。
2. を解きなさい。
3. を解きなさい。
4. を解きなさい。
5. を解きなさい。

解答

1. 。足すと 、、。。検算：、 ○
2. 。上を2倍して引くと 、、。。検算：、 ○
3. 。足すと 、、。。検算：、 ○
4. 。下を2倍して足すと 、、。。検算：、 ○
5. 数だけの部分がないので、 と を使います。
   より 。 より 、つまり 。
   を足すと 、、。。
   検算：、、。3つとも3 ○

まとめ

• は「3つが全部等しい」という意味。連立方程式の省略記法
• 3本のうち2本を選べばよい。残り1本は自動的に成り立つ
• 選び方は自由。数だけの部分があれば、それを含む組を選ぶと楽
• 分けるのが先、分母をはらうのは後
• 右辺が全部0になる形では、 がよく答えになる
• 検算は3つとも同じ値になるか。使わなかった式でも必ず確認

「1つの表記に複数の条件が畳み込まれている」という状況は、この先も繰り返し現れます。高校の連立不等式、数列の連立漸化式、空間図形の複数条件——まず条件を1本ずつ書き出すという作業が最初の一手になります。 を見て反射的に2本に分解できることは、その練習として中2で身につけられる最も分かりやすい形です。