連立不等式で解の範囲が書けない｜数I数と式

連立不等式はそれぞれを解いて、共通部分を取るだけです。

解＝2つの範囲が重なっているところ

迷うのは重なりの読み取りです。数直線に2本の線を引けば、まず間違えません。

手順は3ステップ

1. それぞれの不等式を解く
2. 数直線に2本とも書き込む
3. 両方が重なっている部分を答える

やってみる1：重なりを取る

かつ を解きなさい。

それぞれを解く

共通部分

「4より小さい」と「2以上」の重なりは

【検算1】端と内側の値を代入します。

x			解か
2	○	○	解
3	○	○	解
4	×	○	解でない
1	○	×	解でない

境界の含む・含まないが正しい ○

【検算2】この範囲の整数は2と3の2個です ○

やってみる2：解がないこともある

かつ を解きなさい。

「5より大きい」と「3より小さい」——重なりがありません。

解なし

【検算】x=4で試すと で は成り立ちません ○　どんな数でも両方は満たせません。

「解なし」も立派な答えです。無理に数を書かないでください。

やってみる3：負の数で割るとき

かつ を解きなさい。

ここで両辺を で割ります。負の数で割るので不等号の向きが変わります。

もう一方は

共通部分は

【検算1】 で確かめます。

○　 も○　解に含まれます

【検算2】 では となり は成り立ちません ○　含まないのが正しい。

【検算3】この範囲の整数は だけです ○

やってみる4： の形

を解きなさい。

これは2つの不等式が合体した形です。分けても解けますが、3つの辺に同じ操作をすれば一度で済みます。

【検算1】 なら 。 ○、 ○

【検算2】 なら 。 は成り立たない ○　含まない

【検算3】整数解は3・4・5の3個 ○

重なりの読み方（早見表）

2つの解	共通部分
と
と	解なし
と	（きつい方だけ残る）
と

同じ向きなら「きついほう」が残ります。逆向きなら、はさまれた範囲か解なしです。

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. 「共通部分」が集合の考え方だから

連立不等式の解は、2つの解集合の共通部分です。これは集合の記号で書けば一瞬で説明できます。

ところが不等式は数と式、共通部分は集合と命題——単元が分かれている構成上、同じ話として扱いにくいのです。

2. 「解なし」を扱う時間が短いから

答えが出る問題を練習するのが基本です。解なしは例外扱いになりがち。

しかし入試では解なしになる条件を問う問題が出ます。「重ならないこともある」という感覚を持っておく必要があります。

3. 負の数で割る操作が重なるから

不等号が逆になるルール自体は中1で習います。しかし連立の中で使うと、共通部分の判断と同時になります。

2つの難所が重なるため、どちらでつまずいたのか自分でも分かりにくくなるのです。

【検算】3つの方法

1. 境界の値を代入する

最も確実です。含む・含まないが確認できます。

【検算】 は解、 は解でない ○

2. 範囲の外の値でも試す

【検算】 は2つ目を満たさない ○

3. 整数解を数えて図と合わせる

【検算】 の整数は2と3の2個 ○

よくあるミス

ミス1：片方だけ解いて答える

共通部分を取ります。

ミス2：負の数で割って不等号を変え忘れる

向きが逆になります。

ミス3：解なしを見落とす

重ならないことがあります。

ミス4：等号の有無を写し間違える

もとの不等号を引き継ぎます。

ミス5：数直線を書かずに暗算する

図で確認すれば防げます。

ミス6： を分け忘れる

2つの条件が入っています。

練習問題

1. を解きなさい。
2. を解きなさい。
3. 1と2の連立不等式を解きなさい。
4. 3の範囲にある整数をすべて答えなさい。
5. かつ を解きなさい。
6. かつ を解きなさい。
7. を解きなさい。

解答

4. 2と3
5. 解なし

まとめ

• 連立不等式の解は共通部分
• 手順はそれぞれ解く→数直線→重なり
• 解なしになることがある
• 同じ向きならきついほうが残る
• 負の数で割ると不等号が逆
• 検算は境界の代入／範囲外の値／整数解を数える

連立不等式は、このあと二次不等式や領域でそのまま使います。そこでは範囲が曲線で区切られますが、「共通部分を取る」という作業はまったく同じです。数直線を書く習慣を、いまのうちにつけておいてください。