立体の切断面の書き方｜中学受験立体図形

立体の切断はセンスではありません。ルールが3つあるだけです。

①同じ面の上の2点は、直線で結ぶ

②平行な面には、平行な切り口ができる

③結べないときは、面をのばして交点を作る

この順に使えば、切り口は必ず描けます。

ルール①：同じ面の上なら結べる

切り口の線は、立体の面の上にしか引けません。

だから2点が同じ面にあるときだけ、直接結べます。ちがう面にある2点を、いきなり結んではいけません。

1辺6cmの立方体ABCD-EFGHを、頂点A・C・Fの3点を通る平面で切ります。切り口はどんな形ですか。また、切り取られる小さいほうの立体の体積を求めなさい。

切り口

AとCは底面ABCDの上——結べます。CとFは側面BCGFの上——結べます。FとAは側面ABFEの上——結べます。

切り口は三角形ACFです。

体積

切り取られるのは三角すいABCF（頂点Bのところ）。

底面を三角形ABCとすると

高さはBFの6cmなので

36立方センチメートルです。

【検算1】立方体全体は

残りは 。比は ○

【検算2】三角すいは立方体の です。

一致 ○　角から切り取る三角すいは、いつも立方体の6分の1になります。

ルール②：平行な面には平行な線

上の面と下の面は平行です。平行な2つの面を1枚の平面で切ると、切り口の線も平行になります。

立方体の6つの辺の中点を通るように切ると、切り口はどんな形になりますか。

正六角形になります。

向かい合う3組の面が平行なので、切り口の6本の辺も3組が平行。それが正六角形の特徴です。

【検算】この平面は立方体の中心を通ります。中心を通る平面は体積を2等分するので

どちらも108立方センチメートル ○

なぜ中心を通ると2等分なのか

立方体は中心について点対称です。中心を通る平面で分けると、片方を180度回すともう片方にぴったり重なります。だから体積が等しくなります。

ルール③：結べないときは、面をのばす

2点がちがう面にあって結べないとき、面を平面として無限にのばすと考えます。

すると、切り口の直線と立方体の辺をのばした直線が交わる点が見つかります。その点を使って、次の線を引けます。

これは切り口が必ず1枚の平面であることを利用した方法です。曲がった切り口はありません。

切り口の形は限られている

切り方	切り口
1つの角を落とす	三角形
向かい合う辺を通る	長方形
ななめに大きく切る	五角形
6つの辺の中点	正六角形

立方体の面は6つなので、切り口は最大でも六角形です。七角形にはなりません。

【検算】切り口の辺の数＝切られた面の数。面は6つしかないので、辺も6本まで ○

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. 空間図形の配当時間が短いから

小学校の算数では、立体は体積・表面積・展開図が中心です。切断は教科書の必修内容ではありません。

中学受験では出題されますが、体系的に習う機会が限られるため、いきなり難問として出会いがちです。

2. 「切り口は平面」という前提が示されにくいから

3つのルールはすべて「切り口が1枚の平らな面である」ことから出てきます。

この前提が言葉で確認されないと、ルールが覚えるべき決まりごとに見えてしまいます。理由が分かれば、忘れても作り直せます。

3. 図をかく練習が必要だから

切断は手を動かさないと身につきません。見取り図をかき、線を引き、消して引き直す——この作業に時間がかかります。

限られた授業時間では確保しにくいため、家庭での練習量で差がつきやすい分野です。

【検算】3つの方法

1. 切り口の各辺が、面の上にあるか確認する

最も基本です。立体の内部を通る線を引いていないか確かめます。

【検算】AC は底面の上 ○、CF は側面の上 ○、FA は側面の上 ○

2. 平行な面の切り口が平行か確認する

ずれていたら引き直しです。

【検算】正六角形の向かい合う辺は平行 ○

3. 分けた体積の合計がもとに戻るか

【検算】 ○

よくあるミス

ミス1：ちがう面の2点を直接結ぶ

同じ面の上だけです。

ミス2：切り口が曲がると思う

必ず平面です。

ミス3：平行を無視して線を引く

向かい合う面の切り口は平行です。

ミス4：三角すいの体積で3で割り忘れる

底面×高さ÷3です。

ミス5：切り口の面積と体積を混同する

聞かれているのはどちらか確認します。

ミス6：七角形になると思う

面は6つなので六角形までです。

練習問題

1. 切り口の線を引ける条件を答えなさい。
2. 1辺6cmの立方体の体積を求めなさい。
3. 頂点A・C・Fを通る切断で切り取られる三角すいの体積を求めなさい。
4. 3の残りの体積と、比を求めなさい。
5. 6つの辺の中点を通る切り口の形を答えなさい。
6. 5のときの2つの立体の体積を求めなさい。
7. 立方体の切り口が七角形にならない理由を答えなさい。

解答

1. 2点が同じ面の上にあるとき
2. 216立方センチメートル
3. 36立方センチメートル
4. 、比は1:5
5. 正六角形
6. 中心を通るので108立方センチメートルずつ
7. 面が6つしかないから（切り口の辺は切られた面の数）

まとめ

• 切り口は必ず1枚の平面
• ①同じ面の2点を結ぶ／②平行な面には平行な線／③面をのばして交点を作る
• 角の三角すいは立方体の6分の1
• 中心を通る平面は体積を2等分
• 切り口は六角形まで
• 検算は辺が面の上か／平行の確認／体積の合計

切断の問題は、ルールを順に当てはめる作業です。ひらめきは要りません。まず同じ面にある2点を探して結ぶ。結べなくなったら平行な面を見る。それでも詰まったら面をのばす。この順番を守れば、必ず最後まで描けます。