1/6公式はどこから来たのか｜数II積分

いわゆる「6分の1公式」は、覚えれば計算が一瞬で終わります。ところがどこから来たのかを知らないと、使える場面を見誤ります。

導出は置き換え1回。3行で終わります。

結論：公式と、その正体

放物線と直線で囲まれた面積なら、 の係数を として

面積

交点の値そのものは不要。差 だけ分かればよい——これが最大の利点です。

導出： と置くだけ

とおきます。 と置き換えると

• 積分区間は が

したがって

通分すると

これだけです。 の正体は でした。

【検算】 で確かめます。

○

なぜマイナスがつくのか

では 、 なので積は負。だから積分の値も負になります。

面積として使うときは絶対値をとる——だから と正になります。

やってみる1： と

交点

交点は 。。

面積

の係数は1なので

【検算】直接積分します。上が直線、下が放物線なので

のとき

のとき

差をとると

一致 ○

やってみる2：係数がついている場合

と で囲まれた面積を求めよ。

交点

先ほどと同じで 。。

面積

の係数は2なので

【検算】もとの式は「先ほどの2倍」の形です。

だから面積も2倍。 ○

係数 を忘れると答えが 倍ずれます。ここが最頻出のミスです。

やってみる3：交点が無理数のとき

ここで公式の威力が出ます。

と で囲まれた面積を求めよ。

解の公式から 。汚い数です。

差だけ求める

交点そのものを使わずに、差だけ出す方法もあります。判別式を使って

この式では 、 なので

一致 ○

面積

約6.93です。

【検算】 ○

【検算2】大きさの見当。交点の幅は 、高さの最大は放物線と直線の差の最大値。

差の関数 は で最大値 。幅3.46、高さ3の領域なので、面積6.93は妥当です ○

使える条件

公式が使えるのは「差が の形に因数分解できるとき」です。

組み合わせ	使えるか
放物線と直線	使える
放物線と放物線（2次の係数が違う）	使える
放物線と放物線（2次の係数が同じ）	使えない（差が1次式）
3次関数と直線	使えない（差が3次式）

「差を作ったら2次式になるか」で判断してください。

【検算】 と の差は で2次式。使えます。

交点は 、、 なので面積は

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. 「公式」として与えられ、導出が省かれやすいから

導出は置き換え1回で3行。決して難しくありません。

ところが公式そのものが有名で、結果を知っていれば計算できるため、導出の優先度が下がりやすい。しかも入試では使えれば得点になるので、なおさら結果だけが伝わります。

2. 使える条件が「放物線と直線」と覚えられやすいから

本当の条件は「差が2次式になること」です。

ところが例題は放物線と直線が中心なので、その組み合わせで覚えてしまう。すると放物線どうしの問題で使えることに気づかない、あるいは2次の係数が同じ場合に誤用することが起こります。

3. 「交点を求めなくてよい」という利点が示されにくいから

導入の例題では交点が整数であることが多い。そこでは公式のありがたみが小さい。

ところが交点が無理数のとき、公式なしでは計算が非常に重くなります。 を使えば交点を求める必要すらない——この最大の利点は、そういう問題に当たって初めて分かります。

【検算】3つの方法

1. 直接積分して比べる

交点が整数なら、直接計算も現実的です。

【検算】 と ：どちらでも ○

2. を判別式から確認する

【検算】：、解の差も ○

3. 面積が正か、大きさが妥当か

幅×高さの見当と比べます。

【検算】、幅3.46・高さ3の領域として妥当 ○

よくあるミス

ミス1： の係数 を掛け忘れる

です。 倍ずれます。

ミス2：符号を間違えて負の面積を答える

面積は正。公式の は積分値の符号です。

ミス3： の3乗を忘れる

3乗です。2乗ではありません。

ミス4：差が2次式でないのに使う

3次関数と直線では使えません。

ミス5： を とする

大きいほうから引きます。3乗なので符号が効きます。

ミス6：係数をそろえずに交点だけ見る

差を作ってから係数を読みます。 と なら 。

練習問題

1. を の置き換えで求めなさい。
2. と で囲まれた面積を求めなさい。
3. 2を直接積分でも確かめなさい。
4. と で囲まれた面積を求めなさい。
5. と の交点の差を、判別式を使って求めなさい。
6. 5の場合の面積を求めなさい。
7. と で囲まれた面積を求めなさい。

解答

1. （）
2. 交点 で差3、。
3. ○
4. 差3、。9。検算：2の2倍 ○
5. 、 より
6. （約6.93）
7. 差は 、交点 で差 、。

まとめ

• 導出は と置くだけ。
• 面積は。 を忘れない
• 使える条件は差が2次式になること
• 交点を求めずに で済む
• 検算は直接積分／判別式で差を確認／大きさの見当

6分の1公式は「計算を省くための道具」です。省けるのは、導出を1度でも自分でやった人だけ。置き換え1回で出ると知っていれば、公式を忘れてもその場で作り直せます。そして、忘れない。