流水算の上りと下りの速さの関係｜中学受験特殊算

流水算は覚えることが2つだけです。

下りの速さ ＝（静水時の速さ）＋（流れの速さ）

上りの速さ ＝（静水時の速さ）－（流れの速さ）

あとは和差算——習ったことのある形に戻ります。

結論：和と差から2つを求める

下りと上りが分かれば、和と差が作れます。

静水時の速さ ＝（下り ＋ 上り）÷ 2

流れの速さ ＝（下り － 上り）÷ 2

下りは流れのぶん速く、上りは流れのぶん遅くなる。だから足して2で割れば真ん中——それが静水時の速さです。

やってみる1：時間から速さを求める

42kmの川を、船が下るのに3時間、上るのに7時間かかりました。静水時の船の速さと、川の流れの速さを求めなさい。

まず下りと上りの速さ

下りは時速14km、上りは時速6kmです。

和と差で2つに分ける

静水時は時速10km、流れは時速4kmです。

【検算1】2つを足し引きして戻します。

下りと上りに一致 ○

【検算2】時間に戻します。

問題の条件どおり ○

【検算3】大小関係を確認します。

上り6 ＜ 静水10 ＜ 下り14

静水時の速さは必ず上りと下りの間にあります ○

なぜ「足して2で割る」でよいのか

下りと上りを並べます。

	速さ
下り	静水 ＋ 流れ
上り	静水 － 流れ

足すと流れが消えます。

下り ＋ 上り ＝ 静水 × 2

引くと静水が消えます。

下り － 上り ＝ 流れ × 2

だからどちらも2で割ればよい。これは和差算そのものです。

【検算】 ○、 ○

やってみる2：往復の平均の速さ

静水時に時速10kmの船が、流れが時速4kmの川で42kmを往復します。往復の平均の速さは時速何kmですか。

時速10kmと答えてはいけません。

時間を出してから割る

合計時間は 時間。道のりの合計は

時速8.4kmです。

【検算1】 ○

【検算2】静水時の10より遅い——なぜでしょうか。

遅い上りに、長い時間がかかるからです。7時間は上り、3時間だけが下り。遅いほうの時間が長いので、平均は下に引っ張られます ○

【検算3】単純平均 とは一致しません。時間が違うので、速さをそのまま平均してはいけません ○

やってみる3：流れが速くなると往復はどうなるか

同じ船・同じ42kmで、流れが時速6kmになりました。往復の時間はどう変わりますか。

流れが時速4kmのときは10時間でした。13.125時間に増えています。

【検算1】平均の速さは 。8.4より遅い ○

【検算2】下りは 時間と0.375時間しか縮まないのに、上りは 時間と3.5時間も延びます ○

流れが速いほど、往復にかかる時間は長くなる

下りで得する時間より、上りで損する時間のほうが大きいからです。

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. 和差算と別の単元として並ぶから

和差算は「2つの数の和と差から、それぞれを求める」問題として先に習います。流水算はそのあと、速さの応用として出てきます。

ところが計算はまったく同じ。単元が分かれている構成上、この対応が示されにくいため、新しい公式として覚え直すことになりがちです。

2. 「静水時の速さ」が目に見えない量だから

下りと上りの速さは実際に測れます。静水時の速さはその川では測れません。

実際には観測できない量を、計算の中だけで扱う——これは文字式の考え方に近い操作です。小学校では文字を使わないため、言葉で説明しきるのが難しい部分になります。

3. 往復の平均が「割合」の話になるから

往復の平均が単純平均でない理由は、速さが「時間あたりの量」だからです。これは割合の考え方に属します。

速さの単元でここまで踏み込むと割合の話に入ってしまうため、配当時間の中では扱いにくい。結果として「往復は平均すればよい」という誤解が残りやすくなります。

【検算】3つの方法

1. 足し引きして下り・上りに戻す

最も確実です。

【検算】 ○、 ○

2. 時間に戻す

道のり ÷ 速さで、問題の時間になるか確かめます。

【検算】 ○、 ○

3. 大小関係を確認する

上り ＜ 静水時 ＜ 下り

この順が崩れていたら計算ミスです。流れの速さが静水時を超えることもありません（超えると上れなくなります）。

【検算】 ○、 ○

よくあるミス

ミス1：上りと下りを取り違える

下りが速いほうです。

ミス2：2で割り忘れる

和も差も2で割ります。

ミス3：往復の平均を単純平均で出す

合計の道のり ÷ 合計の時間です。

ミス4：時間と速さを混同する

先に速さを出してから和差算に入ります。

ミス5：流れの速さを船に足し忘れる

下りは足し、上りは引く——図で確認します。

ミス6：単位をそろえない

時速と時間、分速と分を合わせます。

練習問題

1. 42kmを下るのに3時間、上るのに7時間かかる船の、下りと上りの速さを求めなさい。
2. 1から静水時の速さと流れの速さを求めなさい。
3. 2の答えを足し引きして検算しなさい。
4. 静水時10km、流れ4kmで42kmを往復するときの平均の速さを求めなさい。
5. 4が時速10kmにならない理由を答えなさい。
6. 流れが時速6kmになったときの往復の時間を求めなさい。
7. 静水時の速さが上りと下りの間にある理由を答えなさい。

解答

1. 時速14km、時速6km
2. 時速10km、時速4km
3. ○、 ○
4. 時速8.4km
5. 遅い上りに長い時間がかかるから。時間の重みが違う
6. 13.125時間
7. 下りは流れのぶん速く、上りは流れのぶん遅いので、静水時はちょうど真ん中になる

まとめ

• 下り＝静水＋流れ、上り＝静水－流れ
• 静水＝（下り＋上り）÷2、流れ＝（下り－上り）÷2
• 正体は和差算
• 往復の平均は合計の道のり÷合計の時間（単純平均ではない）
• 流れが速いほど往復は遅くなる
• 検算は足し引きで戻す／時間に戻す／上り＜静水＜下り

流水算のおもしろさは、目に見えない「静水時の速さ」を計算で取り出せるところにあります。測れない量を、測れる2つの量の和と差から復元する——この発想は、理科や統計でも同じ形で出てきます。公式を覚えるより、「足すと片方が消える」という仕組みのほうを持ち帰ってください。