最短距離（展開図）の問題が解けない｜中3三平方の定理

「立体の表面を通る最短距離」。曲がった面の上を通るのに、どうやって長さを測るのか。入試の空間図形で最も差がつく問題です。

答えは決まっています。展開して平面にすれば、最短距離は直線。そして切って開いても長さは変わらない——これが原理です。

結論：展開図の上で2点を直線で結ぶ

なぜ展開してよいのか。理由は単純です。

紙を切って開いても、紙の上に描いた線の長さは変わらない

立体の表面は曲げた紙だと思えます。だから展開しても、表面上の道の長さは同じ。

そして平面上で2点を結ぶ最短の道は直線。だから展開図で直線を引けば、それが最短経路です。

手順

1. 展開図を描く
2. 出発点と到着点を展開図上に置く
3. 直線で結ぶ
4. その長さを三平方の定理などで求める

型1：円柱の側面を巻く

底面の円周が6、高さが8の円柱がある。底面のある点から、側面を1周して真上の点まで行く最短距離を求めなさい。

円柱の側面を切って開くと長方形になります。

• 横 … 底面の円周で6
• 縦 … 高さで8

出発点は左下、到着点は右上。直線で結ぶと

【検算】3-4-5の2倍で6-8-10。三平方が成り立っています ○

立体の上ではらせん状の経路ですが、展開するとただの直線。これが展開の威力です。

横に2周する場合は、展開図を2つ横に並べます。横が になるので

【検算】。1周の10より長い ○。当然です。

型2：角柱の側面を巻く

底面が1辺2の正三角形、高さ8の三角柱がある。底面のある頂点から、側面を1周して真上の頂点まで行く最短距離を求めなさい。

側面を開くと長方形になります（3つの長方形が横に並ぶ）。

• 横 … 底面の周の長さで
• 縦 … 高さで8

円柱の場合とまったく同じです。底面が何であっても、周の長さと高さで決まります。

【検算】底面の周が6で高さ8なら、円柱でも角柱でも10。展開すると同じ長方形になるからです ○

型3：円錐の側面（最重要）

ここが本番です。円錐の側面を開くとおうぎ形になり、中心角を求める必要があります。

底面の半径2、母線6の円錐がある。母線上の点Aから側面を1周して、Aまで戻る最短距離を求めなさい。

ステップ1：中心角を求める

おうぎ形の弧の長さ＝底面の円周なので

ステップ2：展開図で直線を引く

展開図は半径6、中心角 のおうぎ形。Aは片方の半径の端、1周して戻った点はもう片方の半径の端です。

求めるのは2辺が6、間の角が の三角形の残りの辺。

ステップ3：特別な直角三角形で計算する

この二等辺三角形の頂角から底辺に垂線を下ろすと、 の直角三角形が2つできます。

• 斜辺 … 6（母線）
• 頂角の半分 …
• 底辺の半分 … の向かいなので比の にあたる

比 で斜辺が6なので1つぶんは3。底辺の半分は 。

最短距離 ＝

【検算】。

大小を確認します。2つの母線を通って行く道（6+6=12）より短いはず ○。そして母線1本（6）より長い ○。妥当な値です。

座標でも確認します。おうぎ形の中心を原点、Aを 、もう一方を 方向の とすると

○。一致しました。

中心角が のとき

のとき中心角は 。直角二等辺三角形になります。

母線が8なら、最短距離は 。

【検算】 ○

中心角が のとき

のとき中心角は 。2辺が等しく間の角が なので正三角形。

最短距離＝母線そのものです。

展開図が使える中心角の一覧

	中心角	最短距離
		（正三角形）
		（一直線）

入試で出るのは、この4つがほとんどです。特別な角になるように問題が作られています。

【検算】 の場合を確認します。中心角 なので展開図は半円。AとA’は直径の両端なので、距離は ○

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. 「展開してよい」根拠が説明されにくいから

「展開図で直線」は結論として教えられます。ところがなぜ展開してよいのか——切って開いても長さが変わらないから——という根拠は、当たり前すぎて説明されないことがあります。

根拠が分からないと、「そういう解き方」として暗記することになり、初見の立体で応用できません。

2. 円錐の中心角を求める手間が1ステップ増えるから

円柱・角柱は展開図がすぐ長方形になりますが、円錐は中心角を計算しなければ展開図が描けません。

この1ステップが増えることで、難度が大きく上がります。しかも中心角の公式（）は中1のおうぎ形の内容で、2年空いています。

3. 立体のままイメージしようとしてしまうから

「側面を通る道」を立体のまま思い浮かべようとすると、らせん状の曲線になり、長さの見当がつきません。

立体を捨てて、展開図だけを見る——この割り切りが必要です。展開図を描いた瞬間、平面図形の問題に変わります。

【検算】3つの方法

1. 大小関係を確認する

比べる相手	関係
母線2本を通る道	最短距離のほうが短い
母線1本	最短距離のほうが長い
立体の対角線（直方体）	表面の最短距離のほうが長い

この範囲を外れたら計算ミスです。

2. 座標で計算する

展開図を座標に置いて、2点間の距離を計算します。角度が特別な値なら座標も簡単に出ます。

3. 三平方が成り立つか

求めた長さで元の直角三角形が成り立つか確認します。

よくあるミス

ミス1：立体のまま計算しようとする

必ず展開図を描きます。これをしないと始まりません。

ミス2：円錐で中心角を求め忘れる

おうぎ形の中心角は 。これがないと展開図が描けません。

ミス3：中心角の分母と分子を逆にする

分子が底面の半径、分母が母線です。逆にすると を超えます。

ミス4：おうぎ形の半径を底面の半径にする

おうぎ形の半径は母線です。底面の半径ではありません。

ミス5：円柱で横の長さを直径にする

展開図の横は円周（）です。直径ではありません。

練習問題

1. 底面の円周が5、高さが12の円柱で、側面を1周する最短距離を求めなさい。
2. 底面が1辺3の正方形、高さ8の四角柱で、側面を1周する最短距離を求めなさい。
3. 底面の半径3、母線9の円錐の展開図の中心角を求めなさい。
4. 3の円錐で、側面を1周して戻る最短距離を求めなさい。
5. 底面の半径2、母線8の円錐の展開図の中心角を求めなさい。
6. 5の円錐で、側面を1周して戻る最短距離を求めなさい。

解答

1. 展開すると横5・縦12の長方形。13。5-12-13 ○
2. 底面の周は 。。検算：、高さ8より長い ○
4. 母線9、中心角 なので 。。検算：。母線2本の18より短く、母線1本の9より長い ○
6. 直角二等辺三角形なので 。。検算： ○

まとめ

• 根拠は「切って開いても長さは変わらない」。だから展開してよい
• 平面では2点を結ぶ最短は直線。展開図で直線を引く
• 円柱・角柱は展開すると長方形。横＝底面の周、縦＝高さ
• 円錐は展開するとおうぎ形。中心角＝ を先に求める
• 中心角が なら特別な三角形で計算できる
• おうぎ形の半径は母線。底面の半径ではない
• 検算は大小関係（母線1本より長く、2本より短い）／座標／三平方

「曲がったものを平らに開いて考える」という発想は、高校の数III（曲線の長さ）や大学の微分幾何につながる、数学の中でも息の長い考え方です。立体の問題を、展開という一手で平面の問題に変える——中3のここで、その最初の道具を手に入れてください。