三次方程式の実数解の個数を調べる方法｜数II微分

三次方程式の実数解の個数は、解かずに数えられます。方法は2つ。

方法	使う場面
極値の積の符号	係数がすべて数のとき
定数分離（ との交点）	定数項に文字があるとき

どちらも根っこは同じ。「グラフが 軸と何回交わるか」を数えているだけです。

結論：極大値と極小値の積を見る

（極大値）（極小値）の符号で決まる

積の符号	異なる実数解の個数	グラフ
負	3個	山が上、谷が下
0	2個	山か谷が 軸上
正	1個	山も谷も同じ側
極値がない	1個	単調に増加（減少）

なぜ積の符号なのか

3次関数のグラフは左下から右上へ（ の係数が正のとき）伸びていきます。

• 極大値が正で極小値が負なら、グラフは 軸を3回横切ります（上がって・下がって・また上がる途中で各1回）
• 両方とも正なら、山も谷も 軸より上。左側で1回だけ横切る
• 両方とも負なら、右側で1回だけ

「異符号なら3回、同符号なら1回」——これを式にしたものが「積の符号」です。

やってみる1：3個の場合

の異なる実数解の個数を求めよ。

極大は 、極小は 。

3個です。

【検算】実際に解きます。

3個 ○

【検算2】符号の変化を見ます。

			0	1	2
		2	0		2

負→正→負→正と3回変わっています ○

やってみる2：2個の場合

の異なる実数解の個数を求めよ。

導関数は同じなので極値の位置も同じ。

2個です。

【検算】因数分解します。 なので が因数。

解は （重解）と 。異なる実数解は2個 ○

【検算2】 ○　確かに解です。

極小値が0——グラフの谷が 軸に接しています。だから重解。

やってみる3：1個の場合

の異なる実数解の個数を求めよ。

1個です。

【検算】解を探します。 なので が解。

残りの2次式の判別式は

実数解なし。だから全体で1個 ○

【検算2】、。2と4の間で1回だけ符号が変わる ○

文字定数があるときは定数分離

が異なる3個の実数解をもつような の範囲を求めよ。

「積の符号」でやると の入った式を扱うことになり大変です。そこで発想を変えます。

曲線 と直線 の交点の個数

直線 は水平線なので、上下に動かして交点の個数を見るだけ。

極大値2、極小値 なので

の範囲	交点
	1個
	2個
	3個
	2個
	1個

答えは 。

【検算1】 のとき。 は先ほど3個でした ○

【検算2】 のとき。 を因数分解すると

解は （重解）と 。2個 ○

【検算3】 のとき。、 なので2と3の間に1個。極大値2より が大きいので左側では交わりません。1個 ○

使い分けの基準

状況	方法
係数がすべて数	極値の積
定数項だけに文字	定数分離（ と比べる）
複数箇所に文字	極値の積（場合分けが必要）

定数分離は、文字を右辺に集められるときだけ使えます。その代わり圧倒的に速い。

極値がない場合

の実数解の個数を求めよ。

常に増加なので、 軸と交わるのは1回だけ。

【検算】 なので が解。

2次式の判別式は で実数解なし。全体で1個 ○

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. 「積の符号」が公式として提示されやすいから

この判定法は結論だけ覚えれば使えます。だから公式として扱われやすい。

ところが本質は「グラフが 軸を何回横切るか」。山が上・谷が下なら3回という図のイメージを持たずに公式だけ覚えると、グラフが上下逆（ の係数が負）のときに混乱します。

2. 定数分離との使い分けが示されにくいから

2つの方法はどちらも正しいので、教科書は両方を扱います。

ところが文字がどこにあるかで有利不利が大きく変わる。この判断は解法の知識であって定理ではないため、独立した項目になりにくい。結果として、毎回同じ方法で押し通して計算量が膨らみます。

3. 「異なる実数解」という言い方が曖昧に見えるから

重解を1個と数えるか2個と数えるかは、問題文の言い方で決まります。

「異なる実数解の個数」なら重解は1個。「実数解の個数（重解も重複して数える）」なら2個。この区別は数学の内容ではなく問題文の読み取りなので、明示されにくい部分です。

【検算】3つの方法

1. 因数分解できるか試す

定数項の約数を代入してみます。1つ見つかれば残りは2次式。

【検算】： ○　残りは で判別式 ○

2. いくつかの で符号の変化を見る

符号が変わった回数が交点の個数です。

【検算】： と3回変化 ○

3. 極値の位置と 軸の関係を図で確認する

山が 軸より上、谷が下なら3個。図を描けば一目です。

【検算】極大2（上）、極小 （下）→ 3個 ○

よくあるミス

ミス1：極値を求めずに判別式を使う

判別式は2次方程式の道具です。3次には使えません。

ミス2：積が0のとき3個と答える

2個です（重解が1つ）。

ミス3：極値がないのに「解なし」とする

必ず1個はあります。3次関数は に発散するからです。

ミス4： の係数が負のときに向きを逆にしない

グラフが上下逆になります。極大・極小の位置も入れ替わります。

ミス5：定数分離できないのに無理に使う

文字を右辺に集められるかを先に確かめます。

ミス6：重解の数え方を確認しない

「異なる」があるかどうかを問題文で確認します。

練習問題

1. の異なる実数解の個数を求めなさい。
2. の異なる実数解の個数を求めなさい。
3. の実数解の個数を求めなさい。
4. が異なる3個の実数解をもつ の範囲を求めなさい。
5. 4で のときの個数を求めなさい。
6. の実数解の個数を求めなさい。
7. 2の方程式を因数分解しなさい。

解答

1. 極大2、極小 、積 より3個。検算： ○
2. 極大4、極小0、積 より2個。検算： ○
3. 極大 、極小 、積 より1個。検算： のみ ○
4. 極小 から極大2の間なので
5. は極大値と一致。2個。検算： ○
6. で常に増加。1個。検算： のみ ○
7. 。検算：展開すると ○

まとめ

• 実数解の個数はグラフと 軸の交点の個数
• （極大値）×（極小値）が負なら3個、0なら2個、正なら1個
• 極値がなければ必ず1個
• 定数項に文字があるなら定数分離（ との交点）が速い
• の係数が負ならグラフが上下逆
• 「異なる実数解」かどうかを問題文で確認
• 検算は因数分解／符号の変化／図で確認

「方程式を解かずに解の個数を知る」——これはグラフという道具を手に入れたからできることです。式を変形する代わりに、形を見る。代数の問題を幾何の問題に翻訳するこの発想は、微分を学ぶ最大の見返りの1つです。