三角方程式・不等式で単位円が使えない｜数II三角関数

三角方程式で単位円が使えない原因は1つです。「 は 座標」という定義を忘れている。

この一言さえ思い出せば、 は「 の点を探せ」という指示に変わります。あとは横線を引くだけです。

結論：sin は横線、cos は縦線

	座標	引く線
	座標	横線
	座標	縦線
	（原点との傾き）	原点を通る傾き の直線

手順は4つ。

1. 単位円を描く
2. 横線・縦線・直線を引く
3. 交点を見つける
4. 交点の偏角を、指定範囲内ですべて拾う

やってみる1：

のとき を解け。

の横線を引きます。単位円との交点は2つ。

右上の点は（30°）。左上の点は 軸について対称なので

答えは 。

【検算】代入します。

○　どちらも 座標が です。

【検算2】個数の見当。 なので、横線は円を2点で切ります。解は2個 ○

やってみる2：

の縦線を引きます。交点は2つ。

上の点は（120°）。下の点は 軸について対称なので

【検算】

○　sin は 軸対称、cos は 軸対称——この違いが2つ目の解の作り方を分けます。

不等式は「弧のどちら側か」

のとき を解け。

は 座標なので、「 座標が より大きい点」を探します。

横線 より上にある弧です。境界は と なので

【検算】範囲の内側と外側で確かめます。

		か
（内側）	1	成立 ○
0（外側）	0	不成立 ○
（外側）	0	不成立 ○

cos の不等式

のとき を解け。

縦線 より左にある弧（境界を含む）です。

【検算】 では ○　 では が不成立 ○

cos の解は「つながった1つの区間」になることが多く、sin とは形が違います。図を見れば当たり前ですが、公式で覚えようとすると混乱します。

tan は原点を通る直線

のとき を解け。

は原点と点を結ぶ直線の傾きです。傾き1の直線 と単位円の交点を見ます。

交点は第1象限と第3象限に1つずつ。

【検算】、 ○

tan は ごとに同じ値をとります（原点対称の点は同じ傾き）。sin や cos の とは違うので注意してください。

tan の不等式

なら、傾きが1より大きい方向。

【検算】 では ○　 では が不成立 ○

と は定義されないので、必ず除きます。

のときは範囲を先に変換する

のとき を解け。

の範囲を先に出します。

この範囲で となるのは、1周分で2個、2周分で4個。

2で割って

【検算】 のとき で ○

【検算2】個数を確認します。 は周期 なので、 には2周期分。1周期に2個なので合計4個 ○

範囲を変換せずに解くと、必ず個数が足りなくなります。

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. グラフと単位円という2つの表現があり、使い分けが示されにくいから

三角関数は単位円でもグラフでも理解できます。教科書は両方を扱います。

ところが方程式・不等式を解くときは単位円が圧倒的に速い。この使い分けは解法の知識であって定理ではないため、明示的な項目になりにくい。グラフで解こうとして時間を失う人が多い部分です。

2. 「 は 座標」の定義が、後の内容で薄れるから

この定義は数Iの図形と計量で導入されます。その後、加法定理・合成・グラフと式の操作が中心になっていく。

定義に戻る場面が構成上ほとんどないため、 が座標だったことが記憶から薄れます。単位円を1枚描くだけで思い出せるのですが、その習慣がつきにくい。

3. 不等式は方程式より演習量が少なくなりやすいから

方程式は答えが点で出るので問題として作りやすく、演習の中心になります。

一方、不等式は「弧のどちら側か」を図で読む作業が必要で、答えも範囲になる。図を描く手間があるぶん演習量が減りやすく、本番で迷う原因になります。

【検算】3つの方法

1. 求めた角を代入する

最も確実です。特別な角なら値がすぐ出ます。

【検算】 ○

2. 解の個数を見積もる

式	での個数
（）	2個
（）	2個
	2個
	4個

個数が合わなければ拾い漏れです。

3. 範囲の内側と外側で不等式を確かめる

領域の問題と同じテスト点法です。

【検算】：内側の で成立、外側の と で不成立 ○

よくあるミス

ミス1：解を1つしか書かない

単位円との交点は普通2つあります。

ミス2：sin と cos で対称の向きを取り違える

sin は 軸対称（）、cos は 軸対称（）。

ミス3： の範囲を変換しない

先に にします。解の個数が倍になります。

ミス4：不等号の等号を落とす

なら境界を含みます。

ミス5：tan で定義されない角を含めてしまう

、 は除きます。

ミス6：グラフで解こうとして時間を使う

単位円のほうが速い場合がほとんどです。

練習問題

すべて の範囲で解きなさい。

7. 1の解が2個である理由を、単位円で説明しなさい。

解答

1. 横線 との交点。
2. 縦線 との交点。
3. 横線より上の弧。。検算： で ○
4. 縦線より左の弧（境界含む）。。検算： で ○
5. 直線 との交点。
6. で 。
7. なので横線が円を2点で切るから

まとめ

• sin は 座標、cos は 座標、tan は原点との傾き
• 方程式は横線・縦線・直線を引いて交点を読む
• 不等式は弧のどちら側かを見る
• sin は 軸対称、cos は 軸対称で2つ目の解を作る
• は範囲を先に変換（解の個数が倍になる）
• tan は周期 、 系は除外
• 検算は代入／解の個数／内外のテスト点

単位円は「三角関数の定義そのものを図にしたもの」です。だから困ったら単位円に戻る——これが最も確実な戦略になります。式を覚え直す必要はありません。円を1つ描いて、線を1本引く。それだけで、方程式も不等式も見えるようになります。