sin cos tanの定義が鈍角で拡張される意味｜数I図形と計量

三角比は直角三角形で定義されました。ところが直角三角形の角は 未満しかありません。それなのに や が出てくる。

鈍角の三角形は作れないのに、なぜ値が決まるのか。ここに納得できないまま公式だけ覚えている人が多い場所です。

結論：直角三角形をやめて、座標で定義し直す

鈍角に拡張するとき、定義そのものを取り替えます。

新しい定義：原点を中心とする半径 の円を描き、 軸の正の向きから角 だけ回した位置にある点を とすると

　　

三角形はどこにも出てきません。点の座標だけで決まります。

これなら鈍角でも定義できます。 が を超えると点は左上に来て、 が負になるだけです。

鋭角では前と同じ値になる

定義を取り替えたのに、 未満では値が変わらない——これが確認すべき最重要点です。

鋭角のとき、Pから 軸に垂線を下ろすと直角三角形ができます。

• 斜辺 … （原点からPまで）
• 高さ …
• 底辺 …

すると

＝（高さ）÷（斜辺）＝

もとの定義とぴったり一致します。だから新しい定義は古い定義の拡張になっているのです。

【検算】 で確かめます。 とすると、 の直角三角形から 。

• ○
• ○
• ○

直角三角形で覚えた値と一致しました ○

鈍角ではどうなるか

で考えます。半径2の円上で の位置にある点は

したがって

と が負になりました。点が左側にあるので だからです。

【検算】Pが本当に半径2の円上にあるか確かめます。

確かに円上 ○

数値でも確認します。、 ○。 ○

符号は象限で決まる

では、点は上半分にあります（）。

角	点の位置
	右上（）	正	正	正
	真上（）	1	0	定義されない
	左上（）	正	負	負

だけが常に正—— だからです。 と は鈍角で負になります。

が定義されない理由もはっきりします。 で、 では 。0で割ることになるからです。

【検算】 で なら 。

• ○
• ○
• … 計算できない ○

の公式が出てくる

この定義から、鈍角の値を鋭角に直す公式が自然に出ます。

の点を とすると、 の点は 軸について対称な位置、つまり です。

したがって

公式	理由
	が同じ
	の符号が逆
	で分母の符号が逆

覚える公式ではなく、対称性から出る当然の結果です。

【検算】 で確かめます。 なので

• ○（先に計算した値と一致）
• ○
• ○

3つとも一致しました ○

座標でも確認します。 の点は （）、 の点は 。 の符号だけが逆 ○

も同じ定義から出る

この関係も、円の方程式そのものです。

Pは半径 の円上にあるので 。両辺を で割ると

つまり。

【検算】 で確かめます。

成り立ちました ○

鋭角でも鈍角でも同じ式が使える——これが定義を取り替えた最大の利点です。

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. 定義が「取り替えられた」ことが明示されにくいから

教科書では直角三角形の定義のあとに座標の定義が出てきます。ところが「定義を取り替えた」という宣言はされないことが多い。

すると2つの定義が並立しているように見え、どちらを使えばいいのか分からなくなります。

実際には座標の定義が正式で、直角三角形は鋭角での特別な場合です。この上下関係を押さえると混乱が消えます。

2. 「鋭角では一致する」ことの確認が省かれやすいから

定義を取り替えたなら、もとの定義と矛盾しないことを確認すべきです。ところがこの確認は「当然のこと」として省略されやすい。

垂線を下ろせば直角三角形ができる——この1行があるかないかで、拡張の正当性が伝わるかが変わります。

3. 公式が先に提示されやすいから

はそのまま使える公式です。だから覚える対象として扱われがち。

ところが座標で考えれば、 軸対称というだけの話です。符号がどうなるかを毎回図で確認できるので、覚える必要がありません。

【検算】3つの方法

1. 点が円上にあるか

を確認します。座標を取り違えていれば、ここで必ず出ます。

角	点（）
		○
		○
		○
		○

2. を確かめる

どの角でも成り立つはずです。成り立たなければ値が間違っています。

3. 符号を象限で確認する

• 鋭角 … 3つとも正
• 鈍角 … だけ正、 と は負

符号が合わなければ、点の位置を取り違えています。

よくあるミス

ミス1：鈍角でも直角三角形を作ろうとする

作れません。座標の定義を使います。

ミス2： も負になると思う

では です。点が上半分にあるからです。

ミス3： に値があると思う

定義されません。 で0で割ることになります。

ミス4： とする

符号が変わります。 です。 だけが符号そのまま。

ミス5： を1以外にすると値が変わると思う

変わりません。 は比なので、 が何であっても同じ値です。

【検算】 で なら 、 なら点は で ○

練習問題

1. 半径2の円で の位置にある点の座標を求めなさい。
2. 1から 、 を求めなさい。
3. を求めなさい。
4. と を求めなさい。
5. を計算しなさい。
6. と を、座標の定義から求めなさい。

解答

1. は なので、 の点 を 軸対称にして。検算： ○
2. 、
3. 。負になります
4. 。 の点は （）なので は 。よって 、
5. 1。どの角でも1になります ○
6. 点は なので 0、1

まとめ

• 鈍角への拡張では定義そのものを取り替える（直角三角形 → 座標）
• 新定義は、、
• 鋭角では前の定義と一致する（垂線を下ろせば直角三角形）
• 〜 では は常に0以上、鈍角で が負
• は定義されない（ で0で割る）
• の公式は 軸対称から出る。覚えなくてよい
• は円の方程式そのもの
• 検算は点が円上にあるか／／符号が象限と合うか

この座標による定義は、数IIで一般角（ を超える角、負の角）へさらに拡張され、三角関数になります。そこでも定義は同じ のまま。定義を取り替えたのは1回だけで、あとは角の範囲を広げるだけです。数Iのここで座標の定義に慣れておけば、数IIの三角関数が「同じものの続き」として自然に入ってきます。