空間図形で三角比を使う問題が解けない｜数I図形と計量

三角比は平面の道具です。ところが入試では立体で問われる。「どの三角形に正弦定理や余弦定理を使えばいいのか分からない」——数Iの図形と計量で最も差がつく場面です。

方法は決まっています。立体から三角形を1枚取り出す。取り出したら、あとは平面の問題です。

結論：使う三角形を1枚選んで、外に描き出す

手順は3ステップです。

1. 求めたい長さ・角を含む三角形を決める
2. その三角形の3辺のうち分かっているものを書き込む
3. 足りない辺は、別の三角形で先に求める

ステップ3が空間図形の本体です。1枚では足りず、2枚以上の三角形を順に処理することがほとんどです。

どの定理を使うかの判断

分かっているもの	使う
2辺と間の角	余弦定理（残りの辺）
3辺	余弦定理（角の ）
1辺と両端の角	正弦定理
直角がある	三平方の定理（最も速い）

直角があるなら三平方が最速です。空間図形では垂直な関係が多いので、まず直角を探してください。

やってみる：正四面体

1辺6の正四面体ABCDについて、辺BCの中点をMとするとき、 を求めなさい。

ステップ1：求めたい角は なので、三角形AMDを取り出します。

ステップ2：3辺のうち は分かっています。AMとDMを求める必要があります。

ステップ3：AMは三角形ABC（1辺6の正三角形）の中線です。

正三角形の高さなので、 の直角三角形から

DMも同じ理由で 。

【検算】三平方で確かめます。、 なので

一致 ○

ステップ4：三角形AMDで3辺が分かったので、余弦定理を使います。

答えは 。

【検算】座標で確かめます。正四面体の4頂点を次のように置きます（1辺6）。

• 、

まずすべての辺が6か確認します。

• ○
• ○
• ○
• ○

正四面体になっています ○

Mは （BCの中点）。

• 、長さの2乗は ○
• 、長さの2乗は ○

内積は 。したがって

一致しました ○

直方体の対角線がなす角

縦3、横4、高さ5の直方体で、底面の対角線と立体の対角線がなす角の を求めなさい。

取り出す三角形：底面の対角線、高さ、立体の対角線でできる直角三角形です。

• 底面の対角線 …
• 高さ …
• 立体の対角線 …

高さは底面に垂直なので直角三角形。求める角を とすると

です。

【検算】三平方を確認します。 ○

座標でも確かめます。 と を結ぶと

立体の対角線は ○。底面の対角線は と で ○

内積は なので

一致 ○。底面の対角線と高さが同じ5なので、直角二等辺三角形になっていました。

「垂直」を見つけるのが鍵

空間図形では次の垂直関係がよく使われます。

状況	垂直になるもの
角柱・円柱	高さと底面
正錐（正四角錐など）	頂点から底面の中心への線
正三角形の中線	中線と底辺
二等辺三角形の頂点からの中線	中線と底辺

直角が見つかれば、三平方の定理が使えます。三角比を使うより速いことが多い。

【検算】正四面体の例で確認します。AMがBCと垂直かどうか。

座標で 、。内積は

垂直 ○。だから三角形ABMは直角三角形で、三平方が使えました。

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. 立体の図から三角形を切り出す手順が示されにくいから

解答例には「三角形AMDにおいて余弦定理より」と書かれます。なぜその三角形なのか、どうやってAMを求めたのかは、結果だけが並びます。

実際には「求めたい角を含む三角形を探し、足りない辺を別の三角形で求める」という2段構えです。この手順が明示されないと、初見の立体で方針が立ちません。

2. 三角比と空間図形が別の場所で導入されるから

空間図形の基本は中1、三角比は数Iです。4年空いています。

正四面体の構造、正錐の垂線の足、投影といった中1の内容が前提になりますが、それらを復習する場面は数Iにはありません。

3. 図を描く手間が大きいから

立体の図は描くのに時間がかかります。しかも取り出した三角形も別に描く必要があるので、1問で図を2〜3枚描くことになる。

この負担のため頭の中で処理しようとして間違える——これが最大の失点原因です。

面倒でも三角形を1枚ずつ描く。これが最短経路です。

【検算】3つの方法

1. 座標に置いて内積で確かめる

最も確実です。立体を座標空間に置けば、長さも角もすべて計算できます。

問題	余弦定理で	座標で
正四面体の		○
直方体の対角線の角		○

2. の値が範囲内か

です。範囲を外れたら計算ミス。

【検算】 ○、 ○。どちらも範囲内です。

3. 三角形の成立条件を確認する

取り出した三角形で3辺の長さが三角不等式を満たすかを見ます。

【検算】三角形AMDは 。 なので

• ○
• ○

成立しています ○

よくあるミス

ミス1：立体のまま余弦定理を使おうとする

三角形を取り出してから使います。立体の図では辺の対応が見えません。

ミス2：必要な辺を求めずに始める

3辺のうち何が分かっているかを先に確認します。足りなければ別の三角形で求めます。

ミス3：直角を見落とす

直角があれば三平方が最速です。正錐の垂線、正三角形の中線——垂直関係を探してください。

ミス4：正四面体の高さと中線を混同する

面の中線（）と立体の高さは別物です。図で確認してください。

ミス5： が範囲外になっても気づかない

です。1を超えたら必ず計算ミスです。

練習問題

1. 1辺6の正三角形の中線（高さ）の長さを求めなさい。
2. 1辺 の正三角形の高さを の式で表しなさい。
3. 縦3、横4、高さ5の直方体の立体の対角線を求めなさい。
4. 3の底面の対角線を求めなさい。
5. 3と4から、2つの対角線がなす角の を求めなさい。
6. 3辺が の三角形で、6の対角の を余弦定理で求めなさい。

解答

1. 。検算：、6より短い ○
2. 。検算： で ○
4. 5
5. 直角三角形なので （）
6. より 。検算：範囲内 ○

まとめ

• 立体から三角形を1枚取り出す。取り出したら平面の問題
• 手順は①求めたい角を含む三角形 ②分かっている辺 ③足りない辺を別の三角形で
• 2枚以上の三角形を順に処理するのが空間図形の本体
• 直角を探す。あれば三平方が最速
• 正三角形の高さは（ から）
• 検算は座標に置いて内積／／三角不等式
• 三角形を1枚ずつ描く。頭の中でやらない

「空間の問題を平面に落として処理する」という手順は、数Bの空間ベクトルですべて座標と内積で処理する形に発展します。そこでは図を描く必要さえなくなりますが、どの三角形を見るかという発想は共通です。数Iのここで「取り出して描く」を習慣にしておけば、空間図形が特別な難しさを持たなくなります。