三角形の五心（外心・内心・重心）の区別｜数A図形の性質

外心・内心・重心・垂心——名前が似ていて混乱しますが、2つの軸で整理できます。

①何の線の交点か　②何から等距離か

この2つを対にして覚えれば、定義も性質も同時に思い出せます。

整理表

点	何の交点か	性質
外心	3辺の垂直二等分線	3頂点から等距離（外接円の中心）
内心	3つの角の二等分線	3辺から等距離（内接円の中心）
重心	3本の中線	中線を2:1に分ける
垂心	3本の垂線	——

垂直二等分線は「点から等距離」の線、角の二等分線は「辺から等距離」の線。だから交点もその性質を引き継ぎます。

座標で確かめる

A(0,0)、B(6,0)、C(0,8)の直角三角形で調べます。3辺は

重心

重心は3頂点の座標の平均です。

【検算】中線を2:1に分けているか確かめます。BCの中点は(3,4)。

Aから重心までは 、重心から(3,4)までは 。

ぴったり2:1 ○

外心

3頂点から等距離の点を探します。直角三角形なので斜辺BCの中点——(3,4)です。

【検算】3頂点との距離を全部計算します。

すべて5 ○　外接円の半径は5、直径は10で斜辺と一致します。

直角三角形の外心は、斜辺の中点

内心

3辺から等距離の点です。直角三角形の内接円の半径は

2辺が座標軸なので、内心は(2,2)です。

【検算】3辺までの距離を確かめます。

• x軸（辺AB）まで：2
• y軸（辺CA）まで：2
• 辺BC（直線 ）まで：

すべて2 ○

垂心

直角三角形では、直角の頂点そのものが垂心です。ここではA(0,0)。

【検算】AからBCへの垂線、BからCAへの垂線（＝x軸）、CからABへの垂線（＝y軸）——x軸とy軸の交点は原点 ○

3点は一直線に並ぶ（オイラー線）

垂心H(0,0)、重心G 、外心O(3,4)を見てください。

この3点は一直線上にあります。

【検算1】HからGへは右2・上 、HからOへは右3・上4。傾きはどちらも

一致 ○

【検算2】距離の比も調べます。、 なので

重心は垂心と外心を2:1に分けます ○　これがオイラー線です。

特別な三角形での位置

三角形	特徴
正三角形	4つとも同じ点
直角三角形	外心＝斜辺の中点、垂心＝直角の頂点
鈍角三角形	外心・垂心が三角形の外に出る

内心と重心は必ず内部にあります。外心と垂心は外に出ることがあります。

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. 名前と定義の対応が暗記になりやすいから

「外心＝垂直二等分線の交点」——用語どうしの対応として覚えると、すぐ混ざります。

ところが垂直二等分線は2点から等距離の点の集まりという意味を押さえていれば、外心が3頂点から等距離になるのは当然です。意味から作り直せるようになります。

2. 「3本が1点で交わる」ことの説明が短いから

3本の線が1点で交わるのは当たり前ではありません。証明が必要な事実です。

ところが証明は結果を使うための準備として扱われ、駆け足になりがち。なぜ交わるのかを味わう時間が取りにくいのです。

3. 重心の2:1だけが強く印象に残るから

重心の性質は具体的な数（2:1）なので覚えやすい。一方、外心・内心の「等距離」は言葉の性質で、問題で使う練習が不足しがちです。

等距離であることが使えると、円の問題が一気に解けるようになります。

【検算】3つの方法

1. 定義に戻って距離を計算する

最も確実です。

【検算】外心から3頂点はすべて5、内心から3辺はすべて2 ○

2. 特別な三角形で位置を確かめる

直角三角形なら外心は斜辺の中点——覚えておくと検算に使えます。

【検算】(3,4)はBCの中点 ○

3. 重心は座標の平均か

【検算】 ○

よくあるミス

ミス1：外心と内心を取り違える

外は頂点、内は辺から等距離です。

ミス2：重心の比を1:2の向きで取る

頂点側が2です。

ミス3：外心が必ず内部にあると思う

鈍角三角形では外に出ます。

ミス4：内心を座標の平均で求める

辺の長さで重みをつけます（平均は重心）。

ミス5：垂直二等分線と角の二等分線を混同する

何から等距離かで区別します。

ミス6：内接円と外接円の半径を取り違える

内接は辺に接するほうです。

練習問題

1. A(0,0)、B(6,0)、C(0,8)の3辺の長さを求めなさい。
2. 重心の座標を求めなさい。
3. 外心の座標を求め、3頂点までの距離を確かめなさい。
4. 内接円の半径を求めなさい。
5. 内心の座標を求め、3辺までの距離を確かめなさい。
6. 垂心の座標を答えなさい。
7. 垂心・重心・外心が一直線上にあることを確かめなさい。

解答

1. 6、8、10
3. (3,4)。3頂点まですべて5
4. 2
5. (2,2)。3辺まですべて2
6. (0,0)（直角の頂点）
7. 傾きがどちらも で一直線。比は2:1

まとめ

• 外心＝垂直二等分線の交点、3頂点から等距離
• 内心＝角の二等分線の交点、3辺から等距離
• 重心＝中線の交点、2:1に分ける（座標の平均）
• 垂心＝垂線の交点
• 直角三角形では外心＝斜辺の中点、垂心＝直角の頂点
• 検算は距離を計算／特別な三角形／座標の平均

五心は暗記科目に見えて、実は意味で整理できる分野です。「垂直二等分線は点から等距離」「角の二等分線は辺から等距離」——この2文さえ握っていれば、外心と内心を取り違えることはありません。覚える量を減らす整理こそ、数学の勉強で最も効果があります。