空間図形で三平方をどう使うかわからない｜中3三平方の定理

三平方の定理は平面の定理です。ところが入試では立体で問われる。「立体のどこに直角三角形があるのか分からない」——中3で最も差がつく場面です。

方法は決まっています。立体を切って、平面を取り出す。取り出した平面の上でなら、三平方はいつもどおり使えます。

結論：直角三角形が乗っている平面を1枚取り出す

手順は3ステップです。

1. 求めたい長さを含む平面を決める
2. その平面を紙に描き直す（立体から切り離す）
3. 平面上で三平方の定理を使う

ステップ2が最重要です。立体の図の上で考えようとすると、線が重なって直角が見えません。取り出して平面として描くと、ただの平面図形の問題になります。

基本：直方体の対角線

縦3、横4、高さ12の直方体の対角線の長さを求めなさい。

対角線は立体の中を斜めに走るので、直接は測れません。2段階で求めます。

第1段階：底面の対角線

底面は縦3、横4の長方形。その対角線を とすると

第2段階：立体の対角線

底面の対角線 と、高さ12で直角三角形ができます（高さは底面に垂直だから）。

対角線は13です。

【検算】座標で確かめます。頂点を と とすると、距離の2乗は

○

公式にすると

2段階をまとめると

3辺の2乗の和——三平方の定理がそのまま空間に拡張されています。

【検算】いくつかの直方体で確認します。

3辺		対角線
		13
		3
		7

立方体の対角線は1辺の 倍——覚えておくと速いです。

錐の高さを求める

底面が1辺6の正方形、他の辺（側面の辺）がすべて5の正四角錐の高さを求めなさい。

取り出す平面：頂点から底面へ下ろした垂線を含む平面。

ステップ1：頂点から底面に下ろした垂線の足は、正方形の中心（対角線の交点）です。

ステップ2：底面の対角線を求めます。1辺6の正方形なので

底面の対角線 ＝

中心から頂点までは、その半分で 。

ステップ3：側面の辺5、中心から底面の頂点まで 、高さ で直角三角形。

【検算】座標で確かめます。底面の4頂点を 、頂点を とします。

頂点から底面の頂点 までの距離の2乗は

○。問題の条件と一致しました。

「垂線の足がどこか」が鍵

この型では垂線の足の位置を最初に決めます。

立体	垂線の足
正四角錐	底面の正方形の中心（対角線の交点）
正三角錐	底面の正三角形の重心
円錐	底面の円の中心

「正」がつく立体は、垂線の足が底面の中心——これが共通のルールです。

表面上の最短距離

もう1つの頻出型です。展開図に直すのがコツです。

縦3、横4、高さ5の直方体で、ある頂点から最も遠い頂点まで、表面を通って行く最短距離を求めなさい。

立体のままでは測れません。展開して平面にすると、最短距離は直線になります。

展開の仕方は3通りあり、それぞれ長さが違います。

展開の仕方	直角三角形の2辺	距離の2乗
1	と
2	と
3	と

最小は74。最短距離は です。

【検算】。他の2つは 、。確かに が最小 ○

3通りすべて計算して最小を選ぶ——これが手順です。1つだけ計算して答えると間違えます。

ちなみに直線の対角線は 。表面を通るほうが長いのは当然です ○

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. 立体の図から直角を読み取るのが難しいから

立体の図は平面に描かれた立体なので、実際には直角なのに図では直角に見えないことがほとんどです。

この見え方の問題は、取り出して描き直すことでしか解決しません。ところが「描き直す」という手順は解答例には現れません（完成した式だけが書かれます）。

面倒でも1枚描く。これが唯一の対策です。

2. 空間図形と三平方が別の単元だから

空間図形は中1、三平方の定理は中3。2年空いています。

錐の体積の公式や、正四角錐の構造といった中1の内容を覚えていないと、中3の応用問題に取りかかれません。単元をまたぐ内容は、つなぐ作業が自分に委ねられます。

3. 「3通り試す」型が手順として示されにくいから

表面上の最短距離は展開の仕方が複数あり、すべて試す必要があります。

ところが解答例には正解の展開図だけが載ります。「他の展開も試して比べた」という過程は書かれません。

結果として「なぜその展開なのか」が分からず、初見の問題で選べなくなります。「全部試して最小を選ぶ」と決めておけば、迷いません。

【検算】3つの方法

1. 座標に置き換える

最も確実です。立体を座標空間に置けば、距離は計算だけで出ます。

2点間の距離の2乗 ＝

2. 大小関係を確認する

確認	内容
対角線	どの辺よりも長い
錐の高さ	側面の辺より短い
表面の最短距離	立体の対角線より長い

この関係が崩れたら計算ミスです。

3. 三平方が成り立つか

求めた長さで元の直角三角形が成り立つか。錐なら 。

よくあるミス

ミス1：立体の図の上で計算しようとする

平面を取り出して描き直します。これをしないと直角が見えません。

ミス2：垂線の足の位置を間違える

「正」がつく錐は底面の中心です。頂点の真下がどこかを最初に決めてください。

ミス3：正方形の対角線の半分を1辺の半分と混同する

1辺6の正方形の中心から頂点までは（対角線 の半分）です。3ではありません。

ミス4：表面の最短距離で展開を1通りしか試さない

3通りすべて計算して最小を選びます。

ミス5：立体の対角線と表面の最短距離を混同する

• 立体の対角線 … 中を突き抜ける。
• 表面の最短距離 … 面の上を通る。展開図で直線

表面のほうが必ず長くなります。

練習問題

1. 縦2、横3、高さ6の直方体の対角線の長さを求めなさい。
2. 1辺4の立方体の対角線の長さを求めなさい。
3. 1辺4の正方形の対角線の長さと、その半分を求めなさい。
4. 底面が1辺8の正方形、側面の辺が の正四角錐の高さを求めなさい。
5. 縦1、横2、高さ3の直方体で、表面を通る最短距離を求めなさい（3通り計算して最小を選ぶ）。
6. 5の直方体の立体の対角線を求め、5の答えより短いことを確かめなさい。

解答

1. より7
2. より 。1辺の 倍 ○
3. 対角線は 、半分は
4. 中心から底面の頂点までは （対角線 の半分）。 より。検算： ○
5. 3通り：、、。最小は18なので。検算：、、 ○
6. より 。 より短い ○

まとめ

• 立体を切って平面を1枚取り出す。取り出したら普通の三平方
• 直方体の対角線は（2段階でも同じ）
• 立方体の対角線は1辺の 倍
• 「正」がつく錐は垂線の足が底面の中心
• 正方形の中心から頂点までは対角線の半分（ 倍）
• 表面の最短距離は展開図で直線。3通り試して最小
• 検算は座標で計算／大小関係／三平方が成り立つか

「空間の問題を平面に落とす」という発想は、高校の空間ベクトルや空間座標でさらに徹底されます。そこではすべてを座標で処理するため、図を描く必要さえなくなります。中3の段階では「平面を1枚取り出す」——この手順を身につけておけば、空間図形が特別な難しさを持たなくなります。