三平方の定理の証明が理解できない｜中3三平方の定理

。中3で習う三平方の定理は使えるけれど、証明を見せられてもピンとこない——教科書の証明が図の操作だけで進むので、どこが要点なのか分かりにくいのです。

ここでは面積を2通りに数えるという一つの発想だけで、3種類の証明を追います。どれも中学の知識で完結します。

結論：同じ図形の面積を、2通りの数え方で表す

三平方の定理の証明はどれも同じ構造です。

1. 直角三角形を何個か組み合わせて、大きな正方形を作る
2. その面積を「1辺×1辺」で数える
3. 同じ面積を「三角形の合計＋内側の図形」でも数える
4. 2つが等しいので、式を整理すると が出る

この「同じものを2通りで数える」が核心です。それさえ掴めば、どの証明図を見ても迷いません。

証明1：外側に正方形を作る（いちばん分かりやすい）

直角をはさむ2辺が 、斜辺が の直角三角形を4つ用意します。

これを、1辺 の大きな正方形の内側に、風車のように配置します。すると真ん中に1辺 の正方形の穴ができます。

数え方1：外側の正方形として

数え方2：三角形4個＋内側の正方形

直角三角形1個の面積は なので、4個で 。内側の正方形は 。

等しいとおく

両辺から を引いて

これで証明終わりです。使ったのは「正方形の面積」「三角形の面積」「展開」だけ。

なぜ内側が正方形になるのか

ここが省略されがちですが、大事な部分です。

内側の四角形は4辺とも なのでひし形。さらに、直角三角形の2つの鋭角を とすると 。内側の四角形の1つの角は、直線から と を除いた残りなので

4辺が等しく、角が直角。だから正方形です。

証明2：内側に正方形を作る

今度は1辺 の正方形の内側に、同じ直角三角形4つを配置します。すると真ん中に1辺 の小さな正方形ができます（ とする）。

数え方1

数え方2

等しいとおく

同じ結論に到達しました。配置を変えても、発想は「面積を2通りで数える」で共通です。

証明3：相似を使う（高校につながる）

直角三角形 （）で、 から斜辺 に垂線 を下ろします。

すると3つの三角形がすべて相似になります。

理由：どれも直角を持ち、角Aまたは角Bを共有するので、2角が等しいからです。

より

より

辺々を足すと

が出ました。 という当たり前の事実が効いています。

【検算】具体的な数で3つの証明を確かめる

、、 の直角三角形で数値を追います。

証明	数え方1	数え方2	一致
証明1			○
証明2			○
証明3			○

証明3の は、 より から出ます。同様に で、和は 。確かに一致します。

逆も成り立つ（直角の判定に使える）

が成り立てば、その三角形は直角三角形です。これを三平方の定理の逆といいます。

だから3辺の長さから直角かどうかを判定できます。

3辺	計算	判定
3, 4, 5		直角三角形
5, 12, 13		直角三角形
8, 15, 17		直角三角形
4, 5, 6		直角でない

【検算】4, 5, 6 の三角形で最大角を余弦定理で計算すると 、すなわち約 。直角より小さい鋭角三角形でした。

よくあるミス

ミス1：斜辺がどれか取り違える

は必ず直角の向かい側（最も長い辺）です。、 と与えられて を求めるとき、 としてしまうミスが多いです。

正しくは より 、。

確認法：出した答えが斜辺より長くなっていないか見る。 なら明らかにおかしいと気づけます。

ミス2： を外し忘れる

まで出して と答えてしまう。求めているのは辺の長さなので、平方根をとって です。

ミス3：直角三角形でないのに使う

三平方の定理は直角三角形でのみ成り立ちます。図に直角の印があるか、必ず確認してください。直角でないなら余弦定理（高校）を使います。

練習問題

1. 直角をはさむ2辺が と のとき、斜辺を求めなさい。
2. 斜辺が 、他の1辺が のとき、残りの辺を求めなさい。
3. 直角をはさむ2辺が と のとき、斜辺を求めなさい。
4. 3辺が の三角形は直角三角形か判定しなさい。
5. 1辺が の正方形の対角線の長さを求めなさい。

解答

1. 、よって斜辺は
2. より 、
3. より （直角二等辺三角形の辺の比 ）
4. 。直角三角形
5. 対角線は正方形を2つの直角三角形に分ける。 より

まとめ

• 三平方の定理の証明は「同じ面積を2通りで数える」という一つの発想でできている
• 外側に正方形を作る／内側に作る／相似を使う——どれも同じ構造
• 相似を使う証明は、 という当たり前の事実が要
• 逆も成り立つので、3辺の長さから直角かどうかを判定できる
• は必ず斜辺（最長辺）。位置を取り違えない

三平方の定理は、高校の三角比（余弦定理は三平方の一般化）、座標平面上の距離、空間ベクトルの大きさ、数IIIの曲線の長さまで、形を変えて使い続けます。証明の発想「2通りで数える」は、その後の数学でも繰り返し出てくる考え方です。