正弦定理と余弦定理の使い分けができない｜数I図形と計量

三角形の問題で「正弦定理と余弦定理、どっちを使うのか」で止まる——数Iの図形と計量でいちばん多いつまずきです。

この判断も覚えるものではなく、数えるものです。与えられた要素を数えれば、使う定理は自動的に決まります。

結論：向かい合う組がそろっているかを見る

状況	使う定理
「辺とその向かいの角」の組がそろっている	正弦定理
そろっていない（3辺、または2辺と間の角）	余弦定理

正弦定理は

という形で、辺と「その辺に向かい合う角」がペアで登場します。だからペアが1組そろっていないと使えません。

余弦定理は

で、3辺と1角の関係です。向かい合うペアは要りません。

判断の手順

1. 与えられた辺と角を図に書き込む
2. 辺とその向かいの角がそろっているペアを探す
3. あれば正弦定理、なければ余弦定理

「向かい」とは、辺 の向かいは角 という対応です（辺 の向かいは頂点 ）。ここを取り違えると判断も狂います。

正弦定理を使う場面

場面1：2角と1辺（ASA / AAS）

、、 のとき を求める。

と がペアでそろっています。求める の向かいの角 も分かっている。正弦定理です。

【検算】。角Bのほうが角Aより小さいので、辺bは辺a（＝6）より短いはず。確かに短くなっています。

場面2：外接円の半径が絡む

が式に入っているので、外接円が出てきたら正弦定理です。

、 のとき外接円の半径 は

余弦定理を使う場面

場面1：2辺とその間の角（SAS）→ 残りの辺

、、 のとき を求める。

の向かいの は未知なのでペアがそろいません。余弦定理です。

【検算】。三角形の成立条件 、すなわち を満たしています。

場面2：3辺（SSS）→ 角

、、 のとき を求める。

余弦定理を について解いた形を使います。

よって 。

【検算】 が負なので は鈍角。確かに が最も長い辺なので、その向かいの角が最大かつ鈍角になるのは自然です。

【検算】両方使える場面で答えが一致するか

条件によっては両方使えます。同じ答えになるか確かめます。

、、 の三角形で角 を求めます。

余弦定理で

よって 。

正弦定理で（先に を出しておく）

。よって 。

一致しました。3つの角の和も で合っています。

正弦定理の落とし穴：角が2つ出る

正弦定理で角を求めるときは要注意です。 を満たす角は、 の範囲に2つある場合があります（鋭角と鈍角）。

たとえば なら と の両方が候補です。

一方余弦定理なら の値で符号まで決まるので、角が一意に定まります。

	角を求めるとき
正弦定理	候補が2つ出ることがある。吟味が必要
余弦定理	常に1つに決まる

だから「角を求めるなら余弦定理」が安全です。正弦定理で角を出したときは、「最大辺の向かいが最大角」などの条件で候補を絞る作業が必要になります。

面積の公式もセットで

これは2辺とその間の角から面積が出る式です。余弦定理と同じ「SAS」の場面で使えます。

【検算】、、 なら 。

ヘロンの公式でも確かめます。 だったので 。

一致しました。

よくあるミス

ミス1：向かい合っていない辺と角でペアを作る

のような書き方は誤りです。辺 と角 が正しいペアです。図に書き込んで、向かい合っているか目で確認してください。

ミス2：余弦定理の符号を間違える

マイナスです。 のとき となり、三平方の定理 に戻る——これが符号の確認法です。

プラスで覚えていると、直角三角形で三平方に戻りません。

ミス3：正弦定理で出した角を吟味しない

上で述べたとおり、 の値からは角が2つ出ることがあります。「最大辺の向かいが最大角」「三角形の内角の和は180°」で絞ります。

練習問題

1. 、、 のとき を求めなさい。
2. 、、 のとき を求めなさい。
3. 、、 のとき を求めなさい。
4. 、 のとき外接円の半径を求めなさい。
5. 、、 のとき面積を求めなさい。

解答

1. 正弦定理。
2. 余弦定理。、。三平方の定理と一致
4. 、よって

まとめ

• 判断は「辺とその向かいの角のペアがそろっているか」だけ
• そろっている → 正弦定理。そろっていない（3辺 or 2辺と間の角）→ 余弦定理
• 角を求めるなら余弦定理が安全。正弦定理は候補が2つ出る
• 余弦定理の符号は、 で三平方に戻るかで確認できる
• 面積 は余弦定理と同じ「2辺と間の角」で使える

この2つの定理は、数Iの図形と計量だけでなく、数IIの図形と方程式、数Cのベクトル（内積は余弦定理そのもの）へつながります。「ペアがそろっているか」という1つの基準を持っておけば、どの単元でも迷わず選べます。