接線の方程式で「接点をtとおく」理由｜数II微分

接線の問題には2つのタイプがあります。この区別ができていないと、 とおく理由が分かりません。

タイプ	接点	やること
曲線上の点における接線	分かっている	そのまま代入
曲線外の点を通る接線	分からない	とおく

接点が分からないから とおく。理由はこれだけです。

結論：接線は「接点」で決まる

接線を決めるのは通る点ではなく、接点です。

接点を とおけば、接線は1つに決まります。

これは の式です。 が決まれば接線が決まる。

手順

1. 接点を とおく
2. 接線の式を で書く
3. 通る点の座標を代入して の方程式にする
4. を求めて、接線を確定

やってはいけないこと

点 から曲線 に引いた接線を求めよ。

いきなり としてはいけません。

この式は「 で接する接線」を表します。ところが問題は「 を通る接線」。まったく違います。

【検算】 が曲線上にあるか確かめます。

曲線上にありません ○　だから接点にはなりえない。

やってみる： に から

ステップ1・2：接線を で表す

接点を とおきます。 なので傾きは 。

ステップ3：通る点を代入

を通るので

ステップ4：接線を確定

	接点	接線
3

接線は2本あります。これが「通る点だけでは決まらない」ということです。

検算する

【検算1】接点が曲線上にあるか。 ○、 ○

【検算2】接線が を通るか。 ○、 ○

【検算3】接点を通るか。 ○、 ○

【検算4】連立して重解になるか。

どちらも重解 ○　確かに接しています。

なぜ判別式ではなく なのか

2次曲線なら判別式 でも解けます。しかし3次以上では通用しません。

点 から曲線 に引いた接線を求めよ。

接点を とおきます。 なので

を通るので

接線は。

【検算1】接点は 。曲線上か： ○

【検算2】接線が接点を通るか： ○　 を通るか： ○

【検算3】連立します。

因数分解すると

が重解で、確かに接しています ○

ここが重要：接するのに交点が3つ分ある

でも交わっています。接するけれど、別の点で交わってもよいのです。

【検算】 のとき曲線は 、直線は ○　確かに交わっています。

「接する＝1点でしか交わらない」ではありません。だから判別式のような「交点の個数」による判定は3次以上で使えない。

接点を とおく方法だけが、次数によらず通用します。

曲線上の点なら は不要

曲線 の点 における接線を求めよ。

「における」なら、その点が接点です。そのまま代入します。

【検算】先ほど で求めた接線と同じ ○

問題文の読み分け

表現	意味
「点Aにおける接線」	Aが接点
「点Aを通る接線」	Aは通過点（接点とは限らない）
「点Aから引いた接線」	Aは通過点

「における」だけが接点です。迷ったらその点が曲線上にあるかを確かめてください。

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. 2つのタイプの違いが、問題文の読み取りに依存するから

「における」と「通る」の1語で、解法がまったく変わります。

ところがこれは数学の内容ではなく日本語の読み取り。教科書は解法を示す構成なので、読み分けの比較表が置かれにくい。実際にはここで最も多く間違えます。

2. 「接線は接点で決まる」という原理が示されにくいから

なぜ接点を文字でおくのか——接線を決めるのが接点だからです。

この一言は定理ではなく見方なので、手順の説明に埋もれやすい。「とりあえず とおく」と覚えると、なぜそうするのか分からないまま当てはめるだけになります。

3. 判別式が使えない場合の説明が後回しになるから

2次曲線では判別式でも解けます。だから最初はそちらでも困りません。

ところが3次になると「接するのに他の点で交わる」ことが起こり、判別式の考え方が破綻する。この事実は3次関数のグラフを扱う段階で初めて必要になるため、接線の導入時には触れられにくい。最初から とおく方法で統一しておくのが安全です。

【検算】3つの方法

1. 接点が曲線上にあるか

の形になっているか確かめます。

【検算】： ○

2. 接線が指定された点を通るか

【検算】 に ： ○

3. 連立して重解になるか

（曲線）（接線）が接点で重解をもちます。

【検算】： が重解 ○

よくあるミス

ミス1：通る点を接点だと思って代入する

曲線上にあるかを先に確認します。

ミス2：接線を1本しか答えない

の方程式の解の個数だけ接線があります。

ミス3： を求めて満足する

接線の式まで答えます。 は途中経過です。

ミス4：3次曲線に判別式を使う

接するのに他で交わることがあります。 とおきます。

ミス5： と を混同する

傾きは という定数（ を含む式）です。

ミス6：接点の 座標を書き忘れる

接点は 。 座標も で表します。

練習問題

1. 点 が曲線 上にないことを確かめなさい。
2. 点 から に引いた接線をすべて求めなさい。
3. 2の接点の座標を求めなさい。
4. 2の接線について、連立すると重解になることを確かめなさい。
5. 点 から に引いた接線を求めなさい。
6. 5の接線が でも曲線と交わることを確かめなさい。
7. 曲線 の点 における接線を求めなさい。

解答

1. なので曲線上にない
2. 接点 、接線 。 より 。、
3. と 。検算：どちらも 上 ○
4. 、。どちらも重解 ○
5. 接点 、接線 。 より 。
6. 。 で曲線は8、直線も 。交わっている ○
7. 「における」なので接点。。検算：2の と同じ ○

まとめ

• 接線を決めるのは接点。だから接点が不明なら とおく
• 手順は①接点を ②接線を で表す ③通る点を代入 ④ を求める
• 「における」は接点、「通る・から引いた」は通過点
• 通過点からの接線は複数本あることが多い
• 判別式は2次曲線だけ。3次では接するのに他で交わる
• 検算は接点が曲線上か／通る点を通るか／重解になるか

とおくのは「決めたいものを文字にする」という、方程式の基本そのものです。求めたいのは接線ですが、接線を決めるのは接点。だから接点を文字にする。この「何が決まれば全部決まるか」を見抜く力は、軌跡でも、図形でも、同じように効いてきます。