仕事算で全体を1とおく理由｜中学受験特殊算

仕事算では、いきなり「全体の仕事量を1とする」と言われます。

なぜ1でよいのでしょうか。2でも36でも100でも、答えは変わらないからです。

結論：全体量は問題に書かれていない

ある仕事をAは12日、Bは18日で終えます。2人でやると何日かかりますか。

問題文に「仕事の大きさ」は書かれていません。書かれているのはかかる日数だけ。

ということは、全体量をいくつに決めても答えは同じはずです。だからいちばん扱いやすい数を自分で決めてよい——それが「1とおく」の意味です。

やってみる：全体を1とする

1日あたりの仕事量

Aは12日で全部終えるので、1日では

Bは同じく

2人あわせて

全体を終えるまでの日数

7.2日です。

【検算1】7.2日で終わる量を計算します。

ちょうど全体 ○

【検算2】速いほうのAは12日。2人なら7.2日——単独より短くなっています ○

本当に「1」でなくてもよいのか

同じ問題を、別の数で解いてみます。

全体を36とすると

1日あたりAは3、Bは2。あわせて5なので

同じ7.2日 ○

全体を100とすると

やはり7.2日 ○

全体量を何にしても、日数は変わらない

理由は簡単です。全体量を2倍にすれば、1日あたりの量も2倍になる。割り算では約分されて消えます。

だったら36のほうが楽ではないか

そのとおりです。12と18の最小公倍数を全体にすると、分数が出てきません。

全体量	Aの1日	Bの1日	合計	日数
1	1/12	1/18	5/36	7.2
36	3	2	5	7.2
100	25/3	50/9	125/9	7.2

整数だけで計算できます。「1とおく」は決まりではなく、選択肢の1つです。

【検算】3人の場合でも確かめます。Aが6日、Bが12日、Cが4日で終える仕事なら、最小公倍数は12。

2日。全体を1として解いても

一致 ○

途中で交代する問題

Aが12日、Bが18日で終える仕事を、まずAが3日働き、残りをBが1人で仕上げます。全部で何日かかりますか。

全体を1とします。Aが3日でやった量は

残りは

Bは1日 なので

合計は 、16.5日です。

【検算1】それぞれの仕事量を足します。

ちょうど全体 ○

【検算2】B単独なら18日、A単独なら12日。16.5日はその間——Aが少し手伝ったぶんだけ18日より短い ○

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. 「1とおく」が手順として示されやすいから

解き方としては「全体を1とする」で十分です。だから理由まで踏み込む場面が作られにくい。

ところが「何とおいてもよい」と分かっていれば、最小公倍数を選んで分数を避けるという手が使えます。この自由度が示されないと、毎回分数で苦労することになります。

2. 分数の割り算と同時に出てくるから

仕事算は分数÷分数を使います。この計算自体、学習してすぐの内容です。

計算の負担が大きい単元の直後に置かれる構成のため、意味の説明より計算を通すことに時間が向きやすいのです。

3. 速さの学習と別の単元に並ぶから

「1日あたりの仕事量」は、「1時間あたりに進む道のり」＝速さとまったく同じ構造です。

ところが速さと仕事算は別の単元として並びます。同じ考え方だと示される場面が少ないため、新しい解法として覚え直すことになりがちです。

【検算】3つの方法

1. 日数 × 1日あたりの量 ＝ 全体 になるか

最も確実です。

【検算】 ○

2. 全体量を別の数にして解き直す

1と最小公倍数の両方で解くと、計算ミスがすぐ分かります。

【検算】 ○　1でおいたときと一致

3. 答えの範囲が妥当か

複数人でやれば、いちばん速い人の単独日数より必ず短くなります。

【検算】 ○　もし12日より長い答えが出たら、どこかが間違いです

よくあるミス

ミス1：日数をそのまま足す

足すのは1日あたりの仕事量です。日数は足せません。

ミス2：日数の平均を答える

15日は誤り。2人なら単独より速くなります。

ミス3：最後に逆数を取り忘れる

全体 ÷ 1日あたりで日数に戻します。

ミス4：交代の問題で残りを求め忘れる

1から引いてから割ります。

ミス5：全体量を途中で変える

1つの問題では最後まで同じ数を使います。

ミス6：日数を整数に丸める

7.2日は7.2日。分数のままでも構いません。

練習問題

1. Aが12日、Bが18日で終える仕事を2人でやる日数を、全体1として求めなさい。
2. 同じ問題を、全体を36として解きなさい。
3. 1と2の答えが一致する理由を答えなさい。
4. Aが6日、Bが12日、Cが4日の仕事を3人でやる日数を求めなさい。
5. Aが3日やってから残りをBが仕上げるときの合計日数を求めなさい。
6. 5の答えを仕事量の合計で検算しなさい。
7. 2人でやった日数が12日より長くならない理由を答えなさい。

解答

1. 、7.2日
2. 、7.2日
3. 全体量を何倍にしても1日あたりの量が同じ倍になり、割り算で消えるから
4. 最小公倍数12で 、2日
5. 、、合計16.5日
6. ○
7. Bが手伝うぶんだけ速くなるから。人が増えて遅くなることはない

まとめ

• 仕事算では全体量が問題に書かれていない
• だからいくつに決めても答えは同じ
• 1は扱いやすい。最小公倍数なら分数が消える
• 足すのは1日あたりの仕事量（日数ではない）
• 「1日あたり」は速さと同じ考え方
• 検算は日数×1日分＝全体／別の全体量で解き直す／最速の人より短いか

「全体を1とおく」は、おまじないではありません。答えに影響しない量だから、自分の都合で決めてよい——数学ではよく使われる考え方です。何とおいてもよいと分かった瞬間から、仕事算は暗記する解法ではなくなります。