式の値は代入する前に変形する｜中3多項式

「式の値を求めなさい」——ここでいきなり代入すると、計算が重くなります。

代入するのは最後。まず式を変形する

因数分解や展開で式を軽くしてから代入すれば、暗算で終わることも珍しくありません。

やってみる1：因数分解してから代入

のとき、 の値を求めなさい。

いきなり代入すると

正しいのですが、3けたの2乗を計算することになります。

先に因数分解すると

暗算で終わります。

【検算】2つの方法でどちらも10000 ○　変形が正しければ、必ず同じ値になります。

やってみる2：差の平方を使う

、 のとき、 の値を求めなさい。

2です。

【検算】直接計算すると ○　小数の2乗を避けられました。

やってみる3：和と積だけがわかっているとき

、 のとき、 の値を求めなさい。

aとbの値そのものは与えられていません。それでも求められます。

だから

13です。

【検算】実際のaとbを求めてみます。和が5、積が6なので2と3。

一致 ○　和と積だけで答えが出せることが確かめられました。

3乗の和も同じやり方で

同じ条件で を求めなさい。

整理すると

【検算】 ○

やってみる4：根号を含む値

、 のとき、 を求めなさい。

和と積を先に計算します。

あとは同じ式に入れるだけです。

【検算】直接計算します。

一致 ○　根号が消えるのは、和と積が整数だからです。

やってみる5：約分してから代入

のとき、 の値を求めなさい。

10です。

【検算】直接なら ○

注意：約分できるのは のときだけです。分母が0になる値は除外します。

使える変形の一覧

もとの式	変形

【検算】最後の式も確かめます。、 なら

実際 で ○

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. 「代入する」が先に定着するから

式の値は文字に数を入れる——これが最初の定義です。手順としては正しい。

ところが入れる前に式を整えるという発想は、あとから加わる工夫です。先に覚えた手順が強く残るため、変形に手が伸びにくいのです。

2. 「因数分解」と「計算の工夫」が別項目だから

因数分解は多項式の単元、計算の工夫は計算の単元で扱われます。

同じ道具なのに別々の場面で登場するため、「式の値を求めるときに因数分解を使う」という結びつきが作られにくいのです。

3. 和と積から求める型は対称式の考え方だから

と だけから を出す——これは対称式の考え方で、高校（数I）の内容にあたります。

中学では展開公式の応用として現れますが、体系的に扱う配当はありません。パターンとして覚えるにとどまりやすい部分です。

【検算】3つの方法

1. 直接代入でも計算する

最も確実です。数が小さければ両方やります。

【検算】、直接でも10000 ○

2. 文字の値を実際に求めて確かめる

和と積が与えられたら、二次方程式を解けば値が出ます。

【検算】和5・積6なら2と3。 ○

3. けたと符号の見当をつける

【検算】 は約10000。答えが1000や100000なら計算ミス ○

よくあるミス

ミス1：変形せずに大きな数を代入する

先に因数分解します。

ミス2：因数分解を間違える

展開して戻すと確かめられます。

ミス3： としてしまう

を引きます。

ミス4：約分で分母が0になる値を見落とす

除外する値を確認します。

ミス5：符号を写し間違える

マイナスの個数を数えます。

ミス6：検算しない

直接代入で1回確かめます。

練習問題

1. のとき を求めなさい。
2. のとき を求めなさい。
3. のとき を求めなさい。
4. 3の答えを、aとbを実際に求めて検算しなさい。
5. 同じ条件で を求めなさい。
6. のとき を求めなさい。
7. のとき を求めなさい。

解答

1. 10000
2. 2
3. 13
4. aとbは2と3。 ○
5. 35
6. 14
7. 10

まとめ

• 式の値は変形してから代入
• 因数分解で計算がきれいな形になることが多い
• 和と積がわかれば・ が出せる
• 根号を含む値では和と積が整数になることが多い
• 分数式は約分してから（分母が0になる値に注意）
• 検算は直接代入／文字の値を求める／けたの見当

「代入する前に、この式は変形できないか」——この一呼吸が、計算ミスと時間を同時に減らします。高校では対称式として体系化され、複素数や数列でも同じ発想を使います。いま身につけておく価値のある習慣です。