指数法則が分数・負の数で成り立つ理由｜数II指数対数

、、——どれもそう決まっているからと覚えていませんか。

実は逆です。指数法則が壊れないように、そう決めるしかなかった。この向きが分かると、忘れても毎回作り直せます。

結論：法則を守るように「決めた」

自然数の指数はかけ算の回数でした。

このとき

は回数を足すだけなので当たり前です。

ところが や や は「かけ算の回数」としては意味を持ちません。0回かける、 回かける、半分かける——どれも説明できない。

そこで、指数法則 が成り立つように意味を決める

これが指数の拡張の原理です。しかも決め方は1通りしかありません。

になる理由

法則が成り立つとすると

つまり は掛けても値を変えない数。そんな数は1しかありません。

【検算】具体的な数で確かめます。

左辺は なので、 でなければ成り立ちません ○

【検算2】割り算からも出ます。

左辺は 。だから ○

になる理由

法則から

つまり は を掛けると1になる数。それは逆数です。

【検算】

○　 です。

になる理由

もう1つの法則 を使います。

つまり は 乗すると になる数。それが 乗根です。

【検算】 を求めます。3乗して8になる数なので2。

○　 です。

はどちらの順でもよい

先に根をとっても、先に累乗しても同じです。計算しやすい方を選べます。

を求めよ。

先に根をとる（楽）

先に累乗する

（ だから）

一致 ○　数が小さくて済む「先に根」がおすすめです。

まとめて計算してみる

式	計算	値
		27

【検算】 を別の順でも。（）○

【検算2】 は から ○　 なので ○

【検算3】 ○　数値では 、 ○

底は正でなければならない

ここが見落とされやすい重要な条件です。分数の指数を使うときは に限ります。

負だと矛盾する例

は「3乗して になる数」なので と言いたくなります。

ところが なので、法則を使えば

と で食い違いました。

【検算】 なので ○　一方 ○　どちらの計算も、それ自体は正しい。

矛盾が起きるのは、底が負だからです。だから分数の指数では と約束します。

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. 「法則が成り立つように決めた」という論理の向きが伝わりにくいから

教科書は、 と定義するという形で書かれます。定義なので、そのまま覚えれば計算はできます。

しかしなぜその定義なのか——「法則を壊さない唯一の決め方だから」という部分は、説明としては短くても、納得には時間がかかる。演習が優先されると省かれやすい部分です。

2. 底が正でなければならない理由が、例なしでは伝わらないから

「 とする」という条件は1行の注意書きで書かれることが多い。

ところがなぜ必要かを理解するには、 と が食い違う例を見る必要があります。この例を出す時間が確保されにくいため、条件が形式的なものに見えてしまいます。

3. 累乗根の記号と分数指数が別々に導入されるから

という記号と という書き方はまったく同じものです。

しかし累乗根の性質と指数の拡張が別の項目として並ぶと、2つの別々の話に見えます。「根号は分数の指数」と一言でつながることを知っておくと、計算の見通しが良くなります。

【検算】3つの方法

1. 累乗して戻す

を 乗すれば に戻ります。

【検算】 なら ○

2. 2通りの順序で計算する

【検算】：、 ○

3. 数値でおおよそ確かめる

指数が大きいほど値も大きい（底が1より大きいとき）。桁が違えば気づけます。

【検算】。 と の間 ○

よくあるミス

ミス1： としてしまう

1です。掛けても変わらない数だからです。

ミス2： を負の数だと思う

逆数です。 で正の数。

ミス3：分子と分母を逆にする

の が根の次数です。 は3乗根の2乗。

ミス4：底が負のまま分数の指数を使う

が条件です。矛盾が起きます。

ミス5： を1とする

が条件です。 は定義しません。

ミス6：先に大きく累乗して計算が重くなる

先に根をとるほうが数が小さくて楽です。

練習問題

1. と を求めなさい。
2. を求めなさい。
3. を求めなさい。
4. を2通りの順序で求めなさい。
5. を求めなさい。
6. を求めなさい。
7. を1つの指数で表しなさい。
8. と を計算し、食い違うことを確かめなさい。

解答

1. どちらも1。検算： ○
2. 。検算： ○
3. 3乗して8になる数なので2
4. 4、4 ○
5. 27。検算： ○
7. より（約1.78）
8. 、。指数は同じ値なのに結果が違うので、底が負のときは分数の指数を使えない

まとめ

• 拡張の原理は「指数法則が壊れないように決める」
• （掛けても変わらない数）
• （掛けて1になる数）
• （ 乗すると になる数）
• は根と累乗のどちらが先でも同じ（先に根が楽）
• 分数の指数では底は正（負だと矛盾する）
• 検算は累乗して戻す／2通りの順序／数値の見当

「法則を守るように定義を拡張する」——これは数学のあらゆる場面で使われる手法です。負の数、分数、無理数、そして複素数。どれも「それまでの計算規則が壊れないように」広げてきました。指数の拡張は、その考え方をいちばん短く体験できる例です。