規則性（周期算）の余りの扱い｜中学受験数の性質

周期算でつまずくのは、ほぼ1か所です。

あまりが0のとき、答えは「最後のもの」

0番目はありません。ちょうど割り切れた＝1周期分がぴったり終わったということです。

基本の手順

1. くり返しの単位（周期）を見つける——実際に書き出して確認する
2. 番号を周期でわる
3. あまりの番号のものを答える（あまり0なら最後）

やってみる1：記号のくり返し

○△□○△□○△□……とくり返します。100番目と99番目の記号を答えなさい。

周期は3

まず書き出して確かめます。

番号	1	2	3	4	5	6
記号	○	△	□	○	△	□

3個でくり返していると確認できました。

100番目

100 ÷ 3 ＝ 33 あまり 1

あまり1なので1番目の○です。

99番目

99 ÷ 3 ＝ 33 あまり 0

あまり0なので3番目の□です。「0番目」ではありません。

【検算1】99・100・101と並べて確認します。

番号	99	100	101
あまり	0	1	2
記号	□	○	△

□○△の順につながっています ○　もし99番目を○としたら、○が2回続いてしまいます。

【検算2】小さい数で試します。 あまり0。6番目は表より□ ○　合っています。

やってみる2：曜日

今日は月曜日です。100日後は何曜日ですか。

曜日の周期は7です。

100 ÷ 7 ＝ 14 あまり 2

月曜日から2つ進んで水曜日です。

【検算1】 日後はちょうど14週間後で月曜日。そこから99日後が火、100日後が水 ○

【検算2】もし「あまり0」なら——例えば98日後は あまり0で月曜日（起点と同じ）です ○

ここは「何日後」だから起点を0とする数え方。「何番目」とは数え方が違うので注意してください。

やってみる3：小数のくり返し

1÷7を計算したときの、小数第100位の数字を答えなさい。

142857の6個でくり返します。

100 ÷ 6 ＝ 16 あまり 4

4番目の数字は8です。

【検算1】142857の並びを確認します。1番目1、2番目4、3番目2、4番目8、5番目5、6番目7 ○

【検算2】第96位は あまり0なので6番目の7。第97位から1・4・2・8と続き、第100位は8 ○

やってみる4：個数と合計

○△□のくり返しで、1番目から100番目までに○は何個ありますか。また、○を1、△を2、□を3としたときの合計を求めなさい。

○の個数

100 ÷ 3 ＝ 33 あまり 1

33周期には○が33個。あまりの1個は○なので

34個です。

【検算】○は1・4・7……と3ずつ増えます。100番目までなので

一致 ○　まったく別の数え方でも34個です。

合計

1周期の合計は 。33周期で

あまりの1個は1なので

199です。

【検算】○が34個、△が33個、□が33個。

一致 ○　個数から計算しても同じです。

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. 「あまり0」の扱いが当たり前に見えるから

割り切れたら1周期の最後——図を見れば明らかです。だから強調されにくい。

ところが計算だけを機械的に進めると、「0番目」を探して混乱します。ここは意識して確認する価値のある部分です。

2. 「何番目」と「何日後」で数え方が違うから

記号の並びは1番目から数えます。日数は今日を0として数えます。

同じ「あまり」でも意味が違うのですが、どちらも周期算として一緒に扱われるため、混ざりやすいのです。

3. 規則性は教科書の必修配当が短いから

小学校では数列や規則の発見を扱いますが、周期を使った計算は入試向けの応用にあたります。

そのため練習の機会が限られ、周期を書き出して確かめるという基本動作が身につきにくいのです。

【検算】3つの方法

1. 小さい番号で書き出して確かめる

最も確実です。6番目や9番目など、割り切れる番号で試します。

【検算】 あまり0 → □。表と一致 ○

2. 前後の番号とつながるか確認する

99・100・101を並べて、くり返しが崩れていないか見ます。

【検算】□○△の順 ○

3. 別の数え方で計算し直す

【検算】○の個数：あまりから34個、等差の数え方でも34個 ○

よくあるミス

ミス1：あまり0を「0番目」とする

最後のものです。

ミス2：周期を確かめずに決めつける

書き出して確認します。

ミス3：「何番目」と「何日後」を混同する

起点の数え方を確認します。

ミス4：あまりの部分を数え忘れる

個数は「周期分＋あまりの分」です。

ミス5：小数の位を1つずらす

小数第1位から数えます。

ミス6：合計と個数を混同する

問われているのはどちらか確認します。

練習問題

1. ○△□のくり返しで、100番目の記号を答えなさい。
2. 同じ列で99番目の記号を答えなさい。
3. 今日が月曜のとき、100日後の曜日を答えなさい。
4. 1÷7の小数第100位の数字を答えなさい。
5. ○△□のくり返しで、100番目までの○の個数を求めなさい。
6. 5を別の数え方で検算しなさい。
7. ○を1・△を2・□を3としたときの、100番目までの合計を求めなさい。

解答

1. あまり1なので○
2. あまり0なので□（最後のもの）
3. あまり2なので水曜日
4. あまり4なので8
5. 34個
6. ○
7. 199

まとめ

• 手順は周期を見つける→わる→あまりの番号
• あまり0なら最後のもの（0番目はない）
• 「何日後」は起点を0として数える
• 個数は周期の個数＋あまりの分
• 合計は1周期の和×周期数＋あまりの分
• 検算は小さい数で書き出す／前後とつながるか／別の数え方

周期算は「割り算のあまりを、意味に戻して読む」問題です。計算そのものは簡単でも、あまりが何を指すかを取り違えると答えがずれます。迷ったら6番目や9番目のような小さい番号で試す——それだけで、ほぼすべてのミスを防げます。