縮図を使って高さを求める｜中3相似

木の高さや川幅を、直接測らずに求める——相似のいちばん実用的な使い道です。

縮図と実物は相似。だから対応する辺の比がすべて等しい

この1つの事実だけで、測れないものが測れるようになります。

やってみる1：影を使う

長さ1mの棒を立てたら影が0.8mでした。同じ時刻に木の影は10mです。木の高さを求めなさい。

太陽の光は平行なので、棒と木の作る三角形は相似です。

（棒の高さ）:（棒の影）＝（木の高さ）:（木の影）

12.5mです。

【検算1】比を作り直します。

一致 ○

【検算2】木の影は棒の影の 倍。だから高さも12.5倍で m ○

【検算3】影のほうが短いので、高さは影より大きいはず。 ○

やってみる2：定規を使って測る

木から20m離れて立ち、目から50cm離した定規で木を見ると、木の高さが定規上で10cmに見えました。木の高さを求めなさい。

目を頂点とする2つの三角形が相似になります。

単位をそろえます。20m＝2000cm。

相似比は

だから

400cm＝4mです。

【検算1】比を確かめます。

一致 ○

【検算2】単位を確認します。答えは400cm。mに直すと4m——木の高さとして自然な値 ○

【検算3】もし単位をそろえずに としたら 。4cmという不自然な答えになります ○　単位をそろえる大切さが分かります。

やってみる3：地図の縮尺

縮尺 の地図で、2点間の長さが8cmでした。実際の距離を求めなさい。

地図上の1が実際の25000にあたるので

200000cm。単位を直すと

200000cm ＝ 2000m ＝ 2km

2kmです。

【検算1】逆に計算します。2kmは200000cm。

地図上の8cmに戻りました ○

【検算2】けたを確認します。1cmが250m（＝25000cm）なので、8cmなら約2000m。けたが合っています ○

面積は2乗になる

同じ地図で、面積が4平方センチメートルの土地があります。実際の面積を求めなさい。

長さが25000倍なら、面積は 倍です。

2500000000平方センチメートル。単位を直します（1平方メートル＝10000平方センチメートル）。

250000平方メートル＝0.25平方キロメートルです。

【検算】別の方法で確かめます。地図上で1辺2cmの正方形なら面積は4平方センチメートル。実際の1辺は

50000cm ＝ 500m です。

一致 ○　長さから計算しても同じになります。

長さは25000倍、面積は6億2500万倍

手順のまとめ

1. 相似な三角形を2つ見つける（平行線か、共通の角）
2. 単位をそろえる
3. 対応する辺で比の式を作る
4. 解いて単位を戻す

いちばんのミスは単位です。cm と m を混ぜないでください。

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. 縮図は小学校、相似は中3だから

拡大図・縮図は小学6年で学びます。相似は中学3年。

同じ内容なのに3年空きます。「あのときやったこと」と結びつける場面が作られにくく、新しい単元として学び直すことになりがちです。

2. 「測る」作業が入るから

縮図をかいて定規で測る——教室でやると時間がかかります。

そのため比の計算だけで済ませることが多く、「実際に測れないものを測る」という面白さが伝わりにくいのです。

3. 面積比が2乗であることを混同しやすいから

長さが2倍なら面積は4倍——相似比と面積比は別です。

縮尺の問題ではけたが大きくなるため、2乗を忘れると答えが桁違いになります。単位換算と同時に処理する必要があり、負担が大きい部分です。

【検算】3つの方法

1. 比を作り直して等しいか

最も確実です。

【検算】 ○

2. 単位換算を逆向きに確かめる

【検算】2km→200000cm→ cm ○

3. 面積は2乗、体積は3乗になっているか

【検算】長さ25000倍なら面積は 倍 ○

よくあるミス

ミス1：単位をそろえない

cm と m を混ぜないこと。

ミス2：比の対応を間違える

高さと高さ、影と影を対応させます。

ミス3：面積に相似比をそのままかける

2乗します。

ミス4：縮尺の向きを逆にする

地図が小さいので、実際はかけ算です。

ミス5：目の高さを足し忘れる

見上げて測る場合は目の高さを加えます。

ミス6：答えの単位を書かない

m か km かを明記します。

練習問題

1. 棒1m・影0.8m、木の影10mのとき、木の高さを求めなさい。
2. 1の答えを比で検算しなさい。
3. 目から50cmの定規で10cmに見え、木まで20mのとき、木の高さを求めなさい。
4. 3で単位をそろえないとどうなるか答えなさい。
5. 縮尺 の地図で8cmは実際に何kmか求めなさい。
6. 同じ地図で4平方センチメートルは実際に何平方メートルか求めなさい。
7. 6を「1辺2cmの正方形」として別の方法で検算しなさい。

解答

1. より12.5m
2. ○
3. 相似比40で cm＝4m
4. 4cmという不自然な答えになる
5. cm＝2km
6. 平方センチメートル＝250000平方メートル
7. 1辺500mの正方形で ○

まとめ

• 縮図と実物は相似——対応する辺の比が等しい
• 影を使う方法は光が平行だから成り立つ
• 手順は相似を見つける→単位をそろえる→比の式→単位を戻す
• 面積比は相似比の2乗
• いちばんのミスは単位
• 検算は比の作り直し／逆向きの換算／2乗の確認

相似は「直接測れないものを測る技術」です。木の高さも、川幅も、地球から月までの距離も、原理は同じ。比の式を1本立てるだけで、手が届かないものが数字になります。これが図形を学ぶ価値の1つです。