Σの計算公式が使いこなせない｜数B数列

Σ の計算でつまずく原因は、公式の暗記ではありません。 と の役割を取り違えていることです。

は動いて消える文字、 は最後まで残る文字

この区別さえつけば、あとは公式を当てはめるだけになります。

結論：Σ は「足し算の省略記号」

• は 1 から まで動く——足し終わったら消える
• は動かない——答えに残る

だからΣ の中に があれば、定数として外に出せます。

【検算】。 が動いても は変わらないので、 を3回足しただけ ○

基本公式は4つ

式	結果	次数
		1次
		2次
		3次
		4次

次数が1つ上がるのが特徴です。これは検算に使えます。

【検算】 で確かめます。

式	直接足すと	公式では
		○
		○
		○

分けられるもの・分けられないもの

足し算と定数倍だけが分けられます。

操作	可否
	できる
	できる
	できない

【検算】 で確かめます。

まったく違う値 ○　積は分けられません。

やってみる1：

足し算なので分けられます。

【検算1】 で直接足します。項は なので

公式では 。一致 ○

【検算2】 で確かめます。第1項は 。

公式では 。一致 ○　 の代入は最も速い検算です。

【検算3】次数を見ます。 は の1次式なので、和は2次式のはず。 は2次式 ○

やってみる2：

まず展開します。そのままでは公式が使えません。

共通因数 でくくります。

【検算1】 で直接足します。項は 、、。

公式では 。一致 ○

【検算2】：第1項は2。公式では ○

【検算3】 は2次式なので、和は3次式。 は3次 ○

やってみる3：下端が1でないとき

を求めよ。

公式は下端が1のときのものです。そこで引き算で調整します。

（ を引いた）

【検算】 で直接足します。

公式では 。一致 ○

項数に注意

の項数は 個です。

【検算】直接足すと ○　項は5個（3,4,5,6,7）です。

ではなく ——ここも「間の数」ではなく「個数」を数えます。

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. と の役割の違いが説明されにくいから

Σ の定義を書けば が動くことは見て取れます。だから説明が短くなる。

ところが実際の計算では「 は定数として外に出せる」という判断が必要です。 のような式で、 を のように扱ってしまうミスが起こります。

2. 「積は分けられない」が例で示されにくいから

Σ の性質として和と定数倍が分けられることは書かれます。

ところが積が分けられないことは、書かれていないから成り立たないという形でしか示されません。反例を1つ計算してみる—— を見れば、二度と間違えません。

3. 下端が1でない場合が応用として後回しになるから

基本公式はすべて下端が1です。導入の例題もそれに合わせて作られます。

ところが実際の問題では途中から始まる和が普通に出てくる。「1から引く」という調整は、応用問題として後から出てくるため、初見で手が止まりやすい部分です。

【検算】3つの方法

1. を代入する

最も速い検算です。第1項と一致するはずです。

【検算】 に ：5。第1項も ○

2. 小さい で直接足す

くらいなら手で足せます。

【検算】：、公式でも20 ○

3. 次数を確認する

の 次式の和は、 の 次式

【検算】（1次）→ （2次）○

よくあるミス

ミス1： を のように扱う

は定数です。。

ミス2：積を分けてしまう

。まず展開します。

ミス3：下端が1でないのにそのまま公式を使う

1から引きます。。

ミス4：項数を とする

個です。両端を含みます。

ミス5：展開せずに公式を探す

は展開して にします。

ミス6：くくり出しをせず計算が煩雑になる

でくくると分数の計算が楽になります。

練習問題

1. を求めなさい。
2. 1を で検算しなさい。
3. を求めなさい。
4. を求めなさい。
5. を求めなさい。
6. を公式と直接計算の両方で求めなさい。
7. と を比べなさい。

解答

1. （）
2. 項は で和は21。公式でも ○
3. に分けて。検算： で20 ○
4. 。検算： で ○
5. 項数は 個。10
6. 直接：36。公式：36 ○
7. 左は 14、右は 36。等しくないので積は分けられない

まとめ

• は動いて消える、 は残る（ は定数として外に出せる）
• 基本公式は4つ（）
• 和と定数倍は分けられる。積は分けられない
• 公式が使えない形はまず展開する
• 下端が1でなければ1からの和を引く
• 項数は 個
• 検算は を代入／小さい で直接足す／次数を確認

Σ は「たくさんの足し算を、1つの式で書く」ための記号です。書き方が変わっただけで、やっていることは足し算のまま。迷ったら書き下す—— で実際に3項足してみる。それだけで、たいていの疑問は解けます。