lim(sinx)/x=1の証明が理解できない｜数III極限

——三角関数の微分は、すべてこの1つの極限から出てきます。

証明の骨格は「3つの面積を大小で比べる」だけ。図さえ思い浮かべば、あとは計算です。

結論：3つの面積ではさむ

単位円（半径1）で、中心角 （）を考えます。

• 点O：原点
• 点A：
• 点B：
• 点T：Aでの接線と、直線OBの交点

このとき3つの図形が入れ子になります。

△OAB　⊂　扇形OAB　⊂　△OAT

面積を計算する

図形	面積	理由
△OAB		底辺OA 、高さ
扇形OAB		で
△OAT		底辺OA 、高さ

包含関係から

2倍して

【検算】 で確かめます。

○　確かに成り立っています。

不等式を変形する

では なので、各辺を で割れます。

（ なので ）

逆数をとります。すべて正なので不等号は反転します。

これではさみうちの形になりました。

両端が1に一致するので

【検算】 で確かめます。

○

【検算2】 では 。より1に近い ○

負の側も同じ

なので、 でも同じ値です。

【検算】： ○　正のときと同じ。

したがって 全体で1に収束します。

弧度法でないと成り立たない

証明の中で扇形の面積 を使いました。これは弧度法の式です。

度数法だと扇形の面積は 。この形では になりません。

【検算】度数法で計算すると、 が小さいとき

1ではありません ○　だから微積分では必ず弧度法を使います。

応用1：

分母と分子の角をそろえます。

なので 。したがって

【検算】 で計算します。

3に近い ○　 なら ○

応用2：

【検算】：。1に近い ○

応用3：

をかけて有理化します。

なので

【検算】 で計算します。

に一致 ○

【検算2】 では ○

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. 図が必要で、文章だけでは追いにくいから

証明の核心は3つの図形の包含関係です。これは図を見れば一目ですが、文字だけでは伝わりにくい。

そのため「面積を比べる」という結果だけが残り、なぜその3つなのかが曖昧になります。自分で1回図を描く——それが最短の理解です。

2. 弧度法が前提であることが強調されにくいから

証明で使う は弧度法の公式です。

ところが数IIIの段階では弧度法を使うのが当たり前になっているため、その前提に注意が向きません。「なぜ弧度法か」の答えがここにある、という接続が示されにくい部分です。

3. 応用の変形パターンが個別に扱われるから

は角をそろえる、 は有理化する。

どちらも「 の形を作る」という同じ目的ですが、手段が違うので別々の問題に見える。目的で束ねると、覚えることが減ります。

【検算】3つの方法

1. 小さい で数値計算する

【検算】 ○

2. 不等式が成り立つか確かめる

と 。

【検算】： ○

3. 応用結果を数値で確かめる

【検算】（3に近い）、 ○

よくあるミス

ミス1：度数法で使う

弧度法でしか成り立ちません。度数法では 。

ミス2：逆数をとるとき不等号を反転させない

すべて正のとき反転します。

ミス3：角をそろえずに1にする

は3です。分母と分子の角を一致させます。

ミス4： と を混同する

前者は0、後者は 。分母の次数で答えが変わります。

ミス5： の場合を考えない

偶関数なので同じですが、答案では一言必要です。

ミス6： を根拠なく使う

この極限が根拠です。逆に使うと循環します。

練習問題

1. で を確かめなさい。
2. で を確かめなさい。
3. を求めなさい。
4. を求めなさい。
5. を求めなさい。
6. を求めなさい。
7. 証明で弧度法が必要な理由を答えなさい。

解答

1. ○
2. ○
3. 1（はさみうち）
4. 3。検算： ○
5. 1。検算： ○
6. 有理化して
7. 扇形の面積 が弧度法の式だから

まとめ

• 証明は△OAB ⊂ 扇形 ⊂ △OAT の面積比較
• そこから
• 割って逆数をとると
• はさみうちで1
• 弧度法だから成り立つ（扇形の面積の式）
• 応用は の形を作るのが目的
• 検算は小さい で数値計算／不等式の確認／応用の数値確認

この極限が を支えています。つまり三角関数の微積分すべての土台。図を1つ描いて面積を3つ比べる——それだけの議論が、これほど広い世界を支えている。数学の面白さが分かりやすく現れている場所です。