相似を利用した面積比の求め方｜中学受験平面図形

面積比の問題で使う道具は2つだけです。

① 高さが同じなら、面積比＝底辺の比

② 形が同じ（拡大図・縮図）なら、面積比＝比の2乗

迷うのはどちらを使うか。見分け方は「高さが同じか、形が同じか」です。

①高さが同じ：面積比は底辺の比

三角形ABCの辺BC上に点Dがあり、BD:DC＝2:3です。三角形ABDと三角形ADCの面積比を求めなさい。

どちらの三角形も、頂点Aから辺BCまでの高さが同じです。

（面積）＝（底辺）×（高さ）÷2

高さが同じなら、面積は底辺だけで決まります。

三角形ABD : 三角形ADC ＝ 2 : 3

【検算】全体の面積を15とすると、、。

足すと全体に戻ります ○

②形が同じ：面積比は比の2乗

三角形ABCで、DEとBCが平行です。AD:DB＝2:1のとき、三角形ADEと台形DBCEの面積比を求めなさい。

まず相似比

AD:DB＝2:1なので

三角形ADEは三角形ABCの縮図（ピラミッド型）です。比は2:3。

面積比は2乗

たてもよこも 倍になるので、面積は 倍です。

台形の分を引く

台形DBCEは全体から三角形ADEを引いた残りです。

三角形ADE : 台形DBCE ＝ 4 : 5

【検算1】 ○　全体に戻ります。

【検算2】面積比の4:9は、相似比2:3の2乗になっているか——、 ○

【検算3】台形のほうが大きいか。 ○　図を見ても台形のほうが広く見えます。

砂時計型（ちょうちょ型）

台形ABCDでAB//CD、AB:CD＝2:3です。対角線の交点をOとするとき、三角形OABと三角形OCDの面積比を求めなさい。また、台形全体を25としたとき、4つの三角形の面積を求めなさい。

三角形OABと三角形OCD

この2つは形が同じ（砂時計型）で、比は2:3。

残りの2つ

相似から です。

三角形OABと三角形OBCは、Bから対角線ACまでの高さが同じ。底辺はOAとOCなので

三角形OAB : 三角形OBC ＝ 2 : 3

三角形OABが4なら、三角形OBCは6。同じように三角形OADも6です。

三角形	面積
OAB	4
OBC	6
OAD	6
OCD	9

台形全体が25——ぴったり合います。

【検算1】三角形OBCと三角形OADが等しいのは偶然ではありません。三角形ABCと三角形ABDは底辺ABが共通で高さも同じなので面積が等しく、共通部分の三角形OABを引いた残りも等しくなります ○

【検算2】、。向かい合う積が等しい——砂時計型の特徴です ○

使い分けを間違えないために

状況	使う道具
頂点が共通で、底辺が一直線上	底辺の比
平行線があって形が同じ	比の2乗

形が同じでないのに2乗を使うのが、いちばん多い誤りです。平行線があるかを必ず確認してください。

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. 「相似」は中学3年の内容だから

小学校では拡大図・縮図として学びます。「相似比」「相似な図形」という用語は使いません。

学年をまたぐ内容のため、なぜ面積比が2乗になるのかを式で説明する場面が作られにくいのです。

2. 「高さが同じなら底辺の比」が当たり前に見えるから

面積の公式からすぐに出る事実です。だからわざわざ強調されにくい。

ところが中学受験の面積比の問題は、この道具でほとんど解けます。当たり前に見える事実こそ、繰り返し確認する価値があります。

3. ピラミッド型・砂時計型が「型」として先に来るから

2つの図形は覚えやすい名前がついていて、パターンとして紹介されます。

根拠は平行線があると同じ形の図形ができることですが、型の使い方が先に来ると根拠が後回しになりやすい。すると平行線のない図で型を当てはめてしまいます。

【検算】3つの方法

1. 部分を足して全体に戻す

最も確実です。

【検算】 ○

2. 2乗になっているか確かめる

相似比が2:3なら、面積比は4:9です。

【検算】 ○　6:9などになっていたら間違いです

3. 大小が図と合っているか

広く見えるほうが大きいはずです。

【検算】台形5＞三角形4 ○

よくあるミス

ミス1：相似比をそのまま面積比にする

2乗します。

ミス2：平行がないのに相似を使う

平行線を確認します。

ミス3：高さが違うのに底辺の比を使う

頂点が共通かを見ます。

ミス4：台形の面積を引き忘れる

全体から三角形を引きます。

ミス5：対応する辺を取り違える

平行な辺どうしが対応します。

ミス6：比のまま答えて実際の面積を出さない

問われているのはどちらか確認します。

練習問題

1. BD:DC＝2:3のとき、三角形ABDと三角形ADCの面積比を求めなさい。
2. 1で全体が15のときの、それぞれの面積を求めなさい。
3. AD:DB＝2:1でDE//BCのとき、三角形ADEと三角形ABCの面積比を求めなさい。
4. 3の三角形ADEと台形DBCEの面積比を求めなさい。
5. AB:CD＝2:3の台形で、三角形OABと三角形OCDの面積比を求めなさい。
6. 5で台形全体を25としたときの4つの三角形の面積を求めなさい。
7. 「底辺の比」と「2乗」の使い分けを答えなさい。

解答

1. 2:3（高さが共通）
2. 、。6と9
3. 相似比2:3なので4:9
4. なので4:5
5. 相似比2:3なので4:9
6. OAB4、OBC6、OAD6、OCD9（合計25）
7. 高さが同じなら底辺の比、形が同じなら2乗

まとめ

• 高さが同じ三角形は面積比＝底辺の比
• 形が同じ図形は面積比＝比の2乗
• ピラミッド型・砂時計型は平行線があるから成り立つ
• 台形の対角線では4:6:6:9（向かい合う積が等しい）
• 使い分けは高さが同じか、形が同じか
• 検算は足して全体／2乗の確認／図との大小

面積比の問題は、比を書き込む場所さえ決まれば、あとは計算するだけです。図を見たらまず平行な線を探す——見つかれば「形が同じ」、見つからなければ「高さが同じところ」を探す。この順番で見ると、どんな図形問題でも入口が見つかります。