相似の証明の書き方（対応の順序と根拠）｜中3相似

相似の証明で減点されるのは、たいてい書き方です。

△ABC ∽ △DEF の左右は、対応する頂点の順に書く

順序を守らないと、そこから作る比の式がすべて狂います。約束ではなく、必要だから守るのです。

証明の型（4行）

1. どの2つの三角形を比べるかを書く
2. 等しい角（または辺の比）を2つ示す
3. それぞれに根拠を書く（共通、平行線の錯角、仮定 など）
4. 相似条件を書いて結論を述べる

相似条件は3つです。

条件	内容
3組の辺の比	3組の辺の比がすべて等しい
2組の辺の比とその間の角	2組の辺の比と、はさむ角が等しい
2組の角	2組の角がそれぞれ等しい

実際の証明では「2組の角」を使うことが最も多くなります。

やってみる1：直角三角形と垂線

∠Aが直角の三角形ABCで、AからBCに垂線AHを引きます。△ABCと△HBAが相似であることを示しなさい。

証明

△ABCと△HBAにおいて

• （仮定と垂線）
• （共通）

2組の角がそれぞれ等しいので

△ABC ∽ △HBA

対応の順序を確認する

AとH、BとB、CとA が対応しています。だから比は

AB : HB ＝ BC : BA ＝ CA : AH

順序を守れば、何番目の辺どうしを比べるかで迷いません。

数値で確かめる

、、 の直角三角形で考えます。面積から

また 、 です。

【検算1】比を3組とも計算します。

3組ともぴったり同じ ○　相似が成り立っています。

【検算2】。BCの長さと一致 ○

【検算3】三平方の定理でも確かめます。

成立 ○　これは相似から出てくる有名な関係です。

順序を間違えるとどうなるか

もし「△ABC ∽ △HAB」と書いてしまうと、対応は A↔H、B↔A、C↔B。すると

AB : HA ＝ 3 : 2.4

これは で、他の組と一致しません。

と は違う——順序を間違えると比が合わなくなります ○

比が合わないときは、まず対応順を疑う

やってみる2：平行線による相似

三角形ABCで、DE // BCとします。△ADEと△ABCが相似であることを示し、、 のときのDEを求めなさい。

証明

△ADEと△ABCにおいて

• は共通
• （DE // BCの同位角）

2組の角がそれぞれ等しいので　△ADE ∽ △ABC

DEを求める

なので 。相似比が なので

【検算1】 ○　相似比と一致します。

【検算2】面積比は相似比の2乗なので

三角形ADEは全体の ○

書くときの注意点

場面	書き方
角が共通	「共通」
平行線がある	「〜 // 〜 の同位角（錯角）」
問題文で与えられている	「仮定」
直角	「仮定」または「垂線だから」

根拠のない等式は書かない——これが証明の基本です。

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. 「対応順に書く」が約束として提示されるから

頂点を対応順に並べる——決まりごととして教えられます。守れば正しく書けるので、理由まで踏み込まれにくい。

ところが理由は明確です。比の式を作るときに、対応順がそのまま使えるから。順序が崩れると比が合わなくなります。

2. 証明の型が形式的に見えるから

「〜において」「よって」「2組の角がそれぞれ等しいので」——決まった言い回しが並びます。

形式に見えますが、これは根拠を落とさないための枠です。枠の意味が伝わらないと、書き写す作業になってしまいます。

3. 相似は中3の後半で配当が短いから

相似は中学3年で扱われ、そのあと円・三平方と続きます。証明の練習量を確保しにくい時期にあたります。

合同の証明（中2）で型を固めておかないと、相似で一気に苦しくなります。

【検算】3つの方法

1. 対応する辺の比を3組とも計算する

最も確実です。すべて同じ値になるはずです。

【検算】 が3組 ○

2. 対応する角が等しいか確認する

【検算】、 は共通 ○

3. 面積比が相似比の2乗か

【検算】相似比 なら面積比 ○

よくあるミス

ミス1：対応順を無視して書く

比が合わなくなります。

ミス2：根拠を書かない

「共通」「同位角」などを必ず添えます。

ミス3：合同条件を書いてしまう

相似条件は3つです。

ミス4：角を1組しか示さない

2組必要です。

ミス5：辺の比の順序を逆にする

左の三角形の辺を左に書きます。

ミス6：結論の記号を書き忘れる

∽を使い、対応順で書きます。

練習問題

1. △ABCと△HBAが相似である理由を、2組の角で説明しなさい。
2. のときのAHを求めなさい。
3. BHとCHを求めなさい。
4. 対応する辺の比を3組とも計算しなさい。
5. を確かめなさい。
6. DE // BC、、 のときのDEを求めなさい。
7. 6のときの面積比を求めなさい。

解答

1. 、 は共通なので2組の角
2. 2.4
3. 1.8、3.2
4. どれも
5. ○
6. 8
7. 4:9

まとめ

• 対応する頂点の順に書く（比の式がそのまま作れる）
• 証明は三角形→角2組→根拠→相似条件の4行
• いちばん使うのは2組の角
• 根拠は共通・同位角・錯角・仮定
• 比が合わないときは対応順を疑う
• 検算は3組の比／角の確認／面積比

証明は「読む人が納得できるか」がすべてです。頭の中で分かっていても、根拠を書かなければ伝わりません。逆に、型どおりに書けば必ず伝わります。相似の証明は型が決まっている分、練習した人が確実に得点できる分野です。