相似比と面積比・体積比の関係がわからない｜中3相似

相似比が なら、面積比は 、体積比は 。公式としては覚えやすいのですが、入試ではここから一歩踏み込んだ問題が出ます。

とくに「切り取った残りの部分」を聞かれると、 をそのまま使って間違えます。正しくは 。この違いがどこから来るのかを押さえます。

結論：長さが 倍なら、面積は 倍、体積は 倍

理由は次元です。

• 面積＝長さ×長さ … 長さが 倍なら 倍
• 体積＝長さ×長さ×長さ … 倍

公式ではなく、かけ算の回数の話です。長方形でも三角形でも円でも、面積はすべて「長さ×長さ」の形をしているので、例外はありません。

【検算】いろいろな図形で確かめます。長さを2倍にします。

図形	もと	2倍にすると	面積比
正方形（1辺3）	9	1辺6で36
長方形（3×5）	15	6×10で60
三角形（底4高3）	6	底8高6で24
円（半径2）		半径4で

すべて ○。図形の種類に関係ありません。

逆向きに使う

入試では逆向きも問われます。面積比から相似比を求めるときは、平方根をとります。

相似な2つの図形の面積比が のとき、相似比を求めなさい。

面積比が なので

【検算】 ○

体積比から相似比を求めるときは3乗根です。体積比 なら相似比は 。

【検算】 ○

方向を間違えないこと。長さ→面積は2乗、面積→長さは平方根です。

最大の落とし穴：切り取った「残り」

ここが本題です。入試で最も間違えられる形です。

円錐を、高さの中点を通り底面に平行な平面で切る。切り取った小さい円錐と、残った立体（円錐台）の体積比を求めなさい。

誤答：相似比が だから体積比は ——これは間違いです。

なぜか。 は小さい円錐 と もとの円錐の比です。聞かれているのは小さい円錐 と 残りの部分の比。

もとの円錐を8とすると

• 小さい円錐 … 1
• 残り（円錐台） … 7

答えは です。

【検算】具体的な数で確かめます。もとの円錐を底面の半径4、高さ6とします。

高さの中点で切ると、小さい円錐は底面の半径2、高さ3。

円錐台は 。比は

一致しました ○。 ではありません。

「部分と全体」か「部分と部分」かを確認する

これが判断の鍵です。

聞かれ方	答え
小さい円錐 と もとの円錐	（部分と全体）
小さい円錐 と 円錐台	（部分と部分）
円錐台 と もとの円錐

相似比から直接出るのは「部分と全体」だけです。部分どうしを聞かれたら引き算が必要。

問題文で何と何を比べているかに線を引く——これで防げます。

三角形を平行線で切る場合

同じ構造が平面でも出ます。

△ABCで、辺AB、AC上に点D、Eをとり、DE BCとする。 のとき、△ADEと四角形DBCEの面積比を求めなさい。

まず相似比を出します。 なので 。

△ADEと△ABCの相似比は なので、面積比は 。

四角形DBCEは差の部分なので 。

答えは です。

【検算】具体的に確かめます。△ABCの底辺を9、高さを6とすると面積は27。

△ADEは相似比 なので底辺3、高さ2で面積3。四角形は 。比は ○

と を取り違えない——これも頻出のミスです。

相似比・面積比・体積比の一覧

相似比	面積比	体積比

表面積も面積なので2乗です。体積だけが3乗。

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. 公式が単純で、覚えるほうが早く見えるから

「2乗・3乗」は数秒で覚えられます。理由（次元）を理解するより速い。

ところが覚えただけでは応用が効きません。とくに「残りの部分」を聞かれたとき、公式だけでは対応できません。

「面積は長さ×長さだから2乗」と理解しておくと、初見の状況でも自分で判断できます。

2. 「部分と全体」の区別が問題文の読み方の問題だから

と の違いは、数学の理解ではなく問題文の読み取りです。

ところが数学の授業で「問題文を正確に読む」ことを訓練する場面は限られます。計算は合っているのに答えが違うという状況になり、原因が特定されにくい。

対策は「何と何の比か」を問題文に線を引いて確認することです。これだけで防げます。

3. 立体の相似が空間図形と相似の両方にまたがるから

相似は中3の「相似」、立体は中1の「空間図形」で扱われます。2年空いています。

円錐の体積の公式（底面積×高さ）を覚えていないと、体積比の問題で具体的な検算ができません。単元をまたぐ内容は、つなぐ作業が自分に委ねられます。

【検算】3つの方法

1. 具体的な数で計算する

最も確実です。相似比 なら、実際に と の図形を作って面積・体積を出します。

立体	もと	2倍	比
立方体（1辺2）	8	1辺4で64
円錐（半径2高3）		半径4高6で
球（半径1）		半径2で

どの立体でも ○

2. 何と何を比べているか確認する

部分と全体なら公式そのまま。部分と部分なら引き算が必要です。

3. 大小関係を確認する

面積比は相似比より差が開きます。相似比 なら面積比 で、より大きな差。

面積比が相似比より差が小さくなったら間違いです。

よくあるミス

ミス1：「残り」に を使う

は部分と全体。残りとの比は です。

ミス2：面積比を相似比と同じにする

相似比 なら面積比は。2乗を忘れないでください。

ミス3：面積比から相似比を求めるとき2乗する

逆です。面積比 から相似比を出すには平方根で 。

ミス4： を相似比だと思う

相似比は です。 なら 。

ミス5：表面積を3乗にする

表面積も面積なので2乗です。3乗なのは体積だけ。

練習問題

1. 相似比が の2つの図形の面積比を求めなさい。
2. 相似比が の2つの立体の体積比と表面積比を求めなさい。
3. 面積比が のとき、相似比を求めなさい。
4. 体積比が のとき、相似比と表面積比を求めなさい。
5. 円錐を高さの の位置（頂点から）で底面に平行に切る。小さい円錐と円錐台の体積比を求めなさい。
6. △ABCでDE BC、 のとき、△ADEと四角形DBCEの面積比を求めなさい。

解答

2. 体積比 、表面積比は面積なので
3. 。検算： ○
4. 3乗根をとって相似比。表面積比は2乗で
5. 相似比は なので体積比は （部分と全体）。円錐台は なので。検算：半径3高さ3の円錐（体積 ）を切ると、小さい円錐は半径1高さ1で 。。比は ○
6. なので面積比は 。四角形は で

まとめ

• 長さが 倍なら、面積は 倍、体積は 倍。理由は次元
• 表面積も面積なので2乗。3乗なのは体積だけ
• 逆向きは平方根・3乗根。方向を間違えない
• 公式から直接出るのは「部分と全体」の比。部分どうしは引き算
• 円錐を中点で切ると小さい円錐：円錐台＝（ ではない）
• 相似比は。 ではない
• 検算は具体的な数で計算／何と何の比か確認

「長さ・面積・体積で、比の効き方が変わる」という感覚は、高校の相似の応用、物理の相似則（大きい生き物ほど骨が太い理由）、さらには微積分での次元の扱いまでつながります。次元が1つ上がるごとに、比が1乗ずつ効く——中3のここで、公式ではなく理由として押さえておいてください。