相関係数が何を表しているのかわからない｜数Iデータの分析

「相関係数は から の間の値をとり、 に近いほど強い正の相関」——教科書の説明はこれで終わりです。

ところがなぜ の間に収まるのか、0.7 と 0.4 で何が違うのかは説明されません。式の意味が分かれば、どちらもはっきりします。

結論：相関係数は「共分散を、大きさで割って揃えたもの」

定義はこうです。

が共分散、 がそれぞれの標準偏差です。

やっていることは「共分散を、単位や散らばりの大きさに影響されない形に直す」——これだけです。

だからまず共分散が何を表しているかを押さえる必要があります。

共分散：「一緒に動くか」を測る量

共分散の定義はこうです。

中身を見てください。「 が平均よりどれだけ上か」×「 が平均よりどれだけ上か」を掛けて、平均をとっています。

は平均より	は平均より	積の符号
上	上	正
下	下	正（負×負）
上	下	負
下	上	負

「一緒に上がる／一緒に下がる」データが多ければ正、逆向きが多ければ負になります。これが共分散の意味です。

共分散の問題点

ところが共分散には単位の問題があります。

身長（cm）と体重（kg）の共分散を計算したとします。身長をmmに変えると、共分散は10倍になってしまいます。データの関係は何も変わっていないのに、数値だけが変わる。

だから大きさで割って揃える——それが相関係数です。

なぜ から の間に収まるのか

ここが本題です。理由はコーシー・シュワルツの不等式にあります。

数Cのベクトルで習う内積の性質を思い出してください。

これは の から出ます。

共分散は内積そのものです。 を並べたベクトルと、 を並べたベクトルの内積（を で割ったもの）です。そして標準偏差はそれぞれのベクトルの長さ（を揃えたもの）。

したがって

相関係数は だったのです。だから から の間に必ず収まります。

は2つのベクトルが同じ向き＝すべての点が右上がりの直線上に並ぶ場合。 は逆向き＝右下がりの直線上です。

【検算】具体的なデータで確かめる

5人のテストの点数で計算します。

生徒	数学	理科			積
A	50	40			200
B	60	60			0
C	70	80			200
D	50	60			0
E	70	60			0

平均は 、。共分散は

標準偏差は 、。

。正の相関がやや強い、という結果です。

単位を変えても変わらないことの確認： をすべて10倍（50→500など）すると、共分散は800、 は 。

まったく同じ値です。これが「大きさで割って揃える」の効果です。

0.7 と 0.4 は何が違うのか

相関係数の目安はこう言われます。

	相関の強さ
0.7〜1.0	強い
0.4〜0.7	中程度
0.2〜0.4	弱い
0〜0.2	ほとんどない

ただしこれは慣習的な目安で、絶対的な基準ではありません。分野によって「0.4でも強い」とされることもあります。

より意味のある解釈は（決定係数）です。 なら 、つまり「 のばらつきの約49%が で説明できる」。 なら16%です。

0.7 は 0.4 の1.75倍ではなく、説明力では約3倍の差——これが実感に近い比較です。

よくあるミス

ミス1：相関があるから原因だと考える

いちばん重要な注意です。相関関係は因果関係ではありません。

「アイスの売上」と「水難事故の件数」には強い正の相関がありますが、アイスが事故を起こすわけではありません。気温という共通の原因が両方を動かしているだけです。

ミス2： を「関係がない」と読む

相関係数が測っているのは直線的な関係だけです。

たとえば の関係にあるデータ（）で計算すると、 になります。きれいな関係があるのに0です。

【検算】、。、。
積の和は 。
共分散が0なので 。それでも は で完全に決まっています。

相関係数を見る前に、必ず散布図を描いてください。

ミス3：外れ値の影響を見落とす

1つの極端な点が相関係数を大きく動かします。散布図で外れ値がないか確認する習慣が必要です。

練習問題

1. 相関係数がとりうる値の範囲を答えなさい。
2. のとき、散布図はどうなるか答えなさい。
3. の単位をcmからmに変えると相関係数はどう変わるか。
4. のとき、 のばらつきの何%が で説明できるか。
5. 「相関係数が0.9だから、 が の原因だ」という主張の問題点を述べなさい。

解答

2. すべての点が右上がりの一直線上に並ぶ
3. 変わらない。相関係数は単位の取り方に影響されない
4. なので約36%
5. 相関は因果を意味しない。第3の変数が両方を動かしている可能性、逆向きの因果、偶然の一致などが考えられる

まとめ

• 相関係数は共分散を標準偏差で割って、単位の影響を消したもの
• 共分散は「一緒に上がる／下がる」を測る量（偏差の積の平均）
• になるのは、相関係数が だから
• 強さの解釈は より（説明できる割合）のほうが実感に近い
• 相関≠因果。第3の変数を常に疑う
• でも関係がないとは限らない。直線的な関係しか測っていない
• 必ず散布図を先に見る

相関係数は数Iのデータの分析で登場しますが、その本質は数Cの内積（コーシー・シュワルツの不等式）と同じものです。統計を学び進めると、回帰分析、主成分分析、機械学習の特徴量選択まで、同じ量が形を変えて現れます。