水そうに入れた物体と水位の変化｜中学受験立体図形

水そうに物を入れると、水位が上がります。この問題は1本の式ですべて解けます。

（水の体積）＋（沈んでいる部分の体積）＝（水そうの底面積）×（水位）

水そうの下のほうは、水と物体で場所を分け合っている——それだけの話です。

やってみる1：完全に沈む場合

底面が20cm×20cmの水そうに、深さ10cmまで水が入っています。ここに1辺10cmの立方体を沈めると、水位は何cmになりますか。

いまの水の体積

入れた立方体の体積

上がる水位

完全に沈むので、立方体の体積のぶんだけ水位が上がります。

水位は 、12.5cmです。

【検算1】1本の式に戻します。

一致 ○

【検算2】本当に沈んでいるか確かめます。立方体の高さは10cm、水位は12.5cm。

水面より下——完全に沈んでいます ○　ここを確認しないと、次の場合と取り違えます。

やってみる2：水面から出る場合

底面が25cm×20cmの水そうに、深さ10cmまで水が入っています。ここに、底面が10cm×10cm・高さ20cmの直方体をまっすぐ立てて入れます。水位は何cmになりますか。

「体積のぶんだけ上がる」は使えません。直方体が水面から出てしまうからです。

考え方：水が入れる場所が狭くなった

直方体が 平方センチメートルの場所を取るので、水が入れるのは残りの部分だけ。

水の体積5000は変わらないので

12.5cmです。

【検算1】1本の式で確かめます。沈んでいる部分は底面積100・高さ12.5なので

一致 ○

【検算2】直方体の高さは20cm、水位は12.5cm。

水面から出ています ○　場合分けが正しいと確認できました。

どちらの場合か、どう見分けるか

状況	使う考え方
物体が水面より下	体積÷底面積だけ水位が上がる
物体が水面から出る	水の入る底面積が減る

まず片方で計算し、あとで確かめる——これが確実な手順です。矛盾したら、もう片方で計算し直します。

やってみる3：あふれる場合

底面20cm×20cm・深さ15cmの水そうに、深さ14cmまで水が入っています。1辺10cmの立方体を沈めると、水は何立方センチメートルあふれますか。

水そうに入る量（満杯）は

いまの水と立方体を合わせると

入りきらない分が

600立方センチメートルあふれます。水位は15cm（満杯）です。

【検算1】あふれたあとに残る水は 立方センチメートル。

1本の式に合っています ○

【検算2】もしあふれを考えないと cm。深さ15cmを超えているので不可能 ○　この確認であふれに気づけます。

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. 「体積のぶんだけ上がる」が例外つきの説明だから

物体が完全に沈むときは正しい。水面から出ると成り立ちません。

ところがこの場合分けは図がないと伝わりにくい。まず簡単な場合で説明されるため、例外を確認する場面が後回しになりがちです。

2. 体積と長さを行き来する計算だから

体積（立方センチメートル）を底面積（平方センチメートル）で割ると長さ（センチメートル）になります。

単位が変わる割り算は、慣れるまで向きを間違えやすい。この確認は単位量あたりの大きさの考え方に属します。

3. 水位の変化は必修の配当に入っていないから

小学校では体積・容積の求め方が中心です。物を入れたときの水位変化は、入試向けの応用として登場します。

そのため練習の機会が限られ、初見で戸惑いやすい分野になっています。

【検算】3つの方法

1. 1本の式に戻す

（水）＋（沈んだ部分）＝（底面積）×（水位）

【検算】 ○

2. 物体が沈んでいるか確認する

水位と物体の高さを比べます。

【検算】高さ20cm＞水位12.5cm——出ている ○　場合分けが正しい

3. 水そうの深さを超えていないか確認する

超えたらあふれています。

【検算】16.5cm＞15cm——あふれる ○

よくあるミス

ミス1：出ている物体に「体積分だけ上がる」を使う

底面積が減ると考えます。

ミス2：底面積を引き忘れる

水が入るのは残りの部分です。

ミス3：あふれを見落とす

深さと比べます。

ミス4：割り算の向きを逆にする

体積÷底面積＝高さです。

ミス5：上がった分と水位そのものを混同する

2.5cm上がって12.5cmです。

ミス6：単位をそろえない

1L＝1000立方センチメートルです。

練習問題

1. 底面20cm×20cm・水深10cmの水そうの水の体積を求めなさい。
2. 1に1辺10cmの立方体を沈めたときの水位を求めなさい。
3. 2で立方体が完全に沈んでいるか確かめなさい。
4. 底面25cm×20cm・水深10cmの水そうに、底面10cm×10cm・高さ20cmの直方体を立てたときの水位を求めなさい。
5. 4を1本の式で検算しなさい。
6. 底面20cm×20cm・深さ15cm・水深14cmの水そうに1辺10cmの立方体を沈めたとき、あふれる量を求めなさい。
7. 2つの場合の見分け方を答えなさい。

解答

1. 4000立方センチメートル
2. なので12.5cm
3. 高さ10cm＜水位12.5cmなので完全に沈んでいる ○
4. 12.5cm
5. ○
6. 600立方センチメートル
7. 水位と物体の高さを比べる（低ければ沈む、高ければ出る）

まとめ

• 基本式は（水）＋（沈んだ部分）＝（底面積）×（水位）
• 完全に沈むなら体積÷底面積だけ上がる
• 水面から出るなら水の入る底面積が減る
• 深さを超えたらあふれる（水位は満杯）
• 計算後に場合分けが正しいか必ず確認
• 検算は1本の式に戻す／高さと水位の比較／深さの確認

水位の問題は、「水そうの中を、水と物体で分け合っている」と考えると一気に見通せます。式を3つ覚えるのではなく、1本の式を場面に合わせて読み替える——そのほうが、初めて見る設定でも対応できます。