旅人算の3パターン（出会い・追いかけ・往復）｜中学受験特殊算

旅人算には「出会い」「追いかけ」「往復」の3パターンがあります。速さを足すのか引くのか——ここで迷う人が多い。

迷わない方法があります。2人の間の距離が、1分あたりどれだけ縮まるかを考える。それが「近づく速さ」です。

結論：3パターンとも同じ式

（時間）＝（距離）÷（近づく速さ）

パターン	進む向き	近づく速さ
出会い	向かい合う	速さの和
追いかけ	同じ向き	速さの差
池の周り	逆向きなら出会い、同じ向きなら追いかけ	和 または 差

違うのは「近づく速さ」の求め方だけです。

なぜ和・差なのか

向かい合っているとき、2人は両方から近づいてきます。1分間に

（Aが進む分）＋（Bが進む分）

だけ距離が縮まる。だから和。

同じ向きのとき、速いほうが遅いほうに近づきます。1分間に縮まるのは

（速いほう）－（遅いほう）

だから差。「近づく速さ」を毎回考えれば、暗記は不要です。

やってみる1：出会い

1400m離れたAとBが、向かい合って同時に出発します。Aは分速60m、Bは分速80mです。何分後に出会いますか。

近づく速さ

1分間に140mずつ距離が縮まります。

時間

10分後です。

【検算1】それぞれの進んだ距離を計算します。

ちょうど1400m——出会っています ○

【検算2】近づく速さ × 時間 ○

やってみる2：追いかけ

弟が分速60mで家を出ました。その後、兄が分速80mで追いかけます。兄が出発したとき、弟は600m先にいました。兄は何分後に追いつきますか。

近づく速さ

1分間に20mずつ縮まります。

時間

30分後です。

【検算1】30分後の位置を計算します。

	スタート地点	30分で進む距離	30分後の位置
兄	0m		2400m
弟	600m		2400m

同じ位置——追いついています ○

【検算2】近づく速さ × 時間 ○　最初の差と一致します。

やってみる3：池の周り（同じ向き）

1周1200mの池を、AとBが同じ地点から同じ向きに同時に出発します。Aは分速80m、Bは分速60mです。AがBを1周分引き離すのは何分後ですか。

同じ向きなので「追いかけ」です。近づく速さは

1周分の差をつけるので、距離は1200m。

60分後です。

【検算1】60分で進む距離を計算します。

ちょうど1周分 ○

【検算2】周回数を確認します。 周、 周。ちょうど1周の差 ○

やってみる4：池の周り（逆向き）

1周1400mの池を、AとBが同じ地点から逆向きに同時に出発します。Aは分速80m、Bは分速60mです。何分後に出会いますか。

逆向きなので「出会い」です。近づく速さは

2人あわせて1周分（1400m）進めば出会います。

10分後です。

【検算1】進んだ距離の合計を計算します。

ちょうど1周 ○

【検算2】池の周りでは「合計が1周分」で出会う——直線の場合の「間の距離」が「1周」に変わっただけです ○

「距離」が何を指すかに注意

場面	使う距離
直線・出会い	2人の間の距離
直線・追いかけ	最初の差
池・逆向き	1周
池・同じ向き	1周（1周分引き離す場合）

「何mぶん縮めればよいか」を毎回確認するのが確実です。

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. 「和・差」がパターンとして覚えられやすいから

出会いは和、追いかけは差——覚えれば解けます。だから理由まで踏み込まれにくい。

ところが池の周りや途中で向きが変わる問題になると、パターンでは対応できません。「近づく速さ」を毎回考えるほうが、結局は速い。

2. 池の周りが別の型に見えるから

直線の問題と池の問題は図がまったく違います。だから別の解き方に見える。

実際は「間の距離」が「1周」に変わっただけ。この対応が示されないと、問題の型が2倍に増えたように感じます。

3. 「距離」が何かが問題ごとに変わるから

出会いなら間の距離、追いかけなら最初の差、池なら1周。

公式は同じでも代入する数の意味が変わります。ここが公式暗記では対応できない部分で、図を描いて確認するほかありません。

【検算】3つの方法

1. 求めた時間で、それぞれの進んだ距離を計算する

最も確実です。条件と合うか確かめます。

【検算】10分で ○

2. 近づく速さ × 時間 ＝ 距離 を確認する

【検算】 ○

3. 時間が正で、常識的な値か

負や極端に大きい値が出たら、和と差を取り違えています。

【検算】もし追いかけで和を使うと 分。4.3分では兄は344mしか進めず、弟は858mの位置で追いつけません ○

よくあるミス

ミス1：和と差を取り違える

「近づく速さ」を考えれば決まります。

ミス2：池の周りで距離を間違える

1周分です。半周ではありません。

ミス3：出発時刻がずれている問題で差を計算し忘れる

追いかけ始めるときの差を先に求めます。

ミス4：単位をそろえない

分速と分、秒速と秒を合わせます。

ミス5：片方だけで検算する

2人とも計算して確かめます。

ミス6：何回目の出会いかを読み落とす

2回目なら2周分など、距離が変わります。

練習問題

1. 1400m離れて向かい合い、分速60mと分速80m。何分後に出会いますか。
2. 1の答えを、それぞれの進んだ距離で検算しなさい。
3. 600m先にいる弟（分速60m）を、兄（分速80m）が追います。何分後に追いつきますか。
4. 1周1200mの池を同じ向きに、分速80mと分速60m。1周分引き離すのは何分後ですか。
5. 1周1400mの池を逆向きに、分速80mと分速60m。何分後に出会いますか。
6. 「近づく速さ」とは何か説明しなさい。
7. 3パターンに共通する式を答えなさい。

解答

1. 近づく速さ 、10分後
2. ○
3. 近づく速さ 、30分後。検算：どちらも2400mの位置 ○
4. 近づく速さ20、60分後。検算：4周と3周で差1周 ○
5. 近づく速さ140、10分後。検算： ○
6. 1分間に2人の距離が縮まる量。向かい合えば和、同じ向きなら差
7. （時間）＝（距離）÷（近づく速さ）

まとめ

• 3パターンとも（時間）＝（距離）÷（近づく速さ）
• 向かい合う→和、同じ向き→差
• 理由は1分間にどれだけ距離が縮まるか
• 池の周りは「間の距離」が「1周」に変わるだけ
• 「距離」が何を指すかを毎回確認する
• 検算は各自の距離／近づく速さ×時間／値が妥当か

旅人算の本質は「相手を止めて考える」ことです。相手が止まっていると思えば、自分は「近づく速さ」で進んでいる。この見方は、中学以降の「相対速度」そのものです。名前が変わるだけで、考え方はずっと同じものが使えます。