対数微分法をいつ使うのか｜数III微分法

対数微分法は「使いどころ」が分かれば強力な道具です。使う場面は3つに限られます。

1. 指数に変数がある（ など）——既存の公式が使えない
2. 掛け算・割り算が多い—— で足し算・引き算に変わる
3. 累乗根が混じって複雑——指数が前に出せる

この3つ以外では使いません。逆にこの形を見たら、すぐ対数微分法です。

結論：4ステップ

1. 両辺の絶対値の自然対数をとる：
2. 対数の性質で分解（積→和、商→差、累乗→係数）
3. 両辺を で微分（左辺は ）
4. を掛けて を出す

なぜ左辺が なのか

連鎖律です。 を で微分すると、 を通して伝わるので

合成関数の微分そのものです。新しい公式ではありません。

使いどころ1：

この関数は、既存のどの公式でも微分できません。

公式	形	は？
	底が変数、指数が定数	指数も変数 ×
	底が定数、指数が変数	底も変数 ×

底も指数も変数——だから対数微分法の出番です。

計算する

として、両辺の対数をとります。

両辺を で微分します。右辺は積の微分。

両辺に を掛けて

【検算1】 で計算します。 なので

数値微分（）で確かめると約1.0000 ○

【検算2】 では なので

数値微分でも約30.31 ○

【検算3】 となるのは 、つまり 。

実際 はこの点で最小になります（値は約0.6922）○

使いどころ2：掛け算・割り算が多い

を微分せよ。

積の微分と商の微分を組み合わせると大変です。対数をとります。

掛け算が足し算に、割り算が引き算に、指数が係数に変わりました。

微分すると

【検算1】 で計算します。

数値微分でも約0.2140 ○

【検算2】 ○　通分を確認しました。

【検算3】。 ○

使いどころ3：指数が関数になっている

（）を微分せよ。

右辺は積の微分なので

【検算1】 で計算します。、 なので

数値微分でも約1.0000 ○

【検算2】 ○　約分を確認しました。

絶対値をつける理由

真数は正でなければならないので、 の符号が分からないときは とします。

結果は同じです。 は の符号によらず成り立つからです。

【検算】 のとき 。微分すると

同じ形 ○

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. 「使いどころ」が整理されにくいから

対数微分法は手順としては短いので、方法の説明はすぐ終わります。

ところがどの問題で使うかは別の知識。①指数に変数 ②積・商が多い ③累乗根が複雑——この3条件が整理されていないと、使うべき場面で思い出せません。

2. の由来が省かれやすいから

これは連鎖律を に適用しただけです。

ところが「両辺を微分すると になる」という結果だけ示されると、公式が1つ増えたように見える。陰関数の微分と同じ考え方だと知ると、見通しが良くなります。

3. 「既存の公式が使えない」ことが明示されにくいから

は累乗関数でも指数関数でもありません。

この事実を明示せずに「対数微分法で解きます」と進むと、なぜ普通の方法ではダメなのかが分からない。2つの公式を並べて、どちらも当てはまらないことを見る——それだけで納得できます。

【検算】3つの方法

1. 数値微分と比べる

【検算】 の ：公式で1、数値微分でも約1 ○

2. 特別な点で簡単になるか確認する

、、 など、値が簡単になる点を選びます。

【検算】 の ： が0で消えて1 ○

3. の形が妥当か見る

分数の和になっているはずです（積・商の場合）。項の数が因数の数と合うか確認します。

【検算】因数3つ → 項3つ ○

よくあるミス

ミス1：最後に を掛け忘れる

が出ただけです。 を掛けて にします。

ミス2： をもとの式に戻さない

答えは の式で書きます。

ミス3：絶対値をつけ忘れる

とします（符号が不明なとき）。

ミス4： を とする

累乗の公式は使えません。指数が定数でないからです。

ミス5：分解を間違える

積は和、商は差、累乗は係数。順に確認します。

ミス6：積の微分を忘れる

の微分は積の微分で 。

練習問題

1. （）を微分しなさい。
2. 1の での値を求めなさい。
3. について を求めなさい。
4. 3の での を求めなさい。
5. （）を微分しなさい。
6. 5の での値を求めなさい。
7. 対数微分法を使う場面を3つ挙げなさい。

解答

1. より 。
2. 1。検算：数値微分も約1 ○
6. 1。検算：数値微分も約1 ○
7. ①指数に変数 ②積・商が多い ③累乗根が複雑

まとめ

• 使うのは①指数に変数 ②積・商が多い ③累乗根が複雑なとき
• 手順は①対数をとる ②分解 ③微分 ④ を掛ける
• は連鎖律から出る（新しい公式ではない）
• は累乗関数でも指数関数でもない
• 対数で積→和、商→差、累乗→係数
• 符号が不明なら絶対値をつける（結果は同じ）
• 検算は数値微分／簡単になる点／項の数

対数微分法は「掛け算を足し算に変える」という対数の本質を、微分に持ち込んだものです。複雑な積を、扱いやすい和に翻訳する。計算を楽にするために、いったん別の世界へ移る——この発想は、置換積分でもラプラス変換でも同じです。