多角形の内角の和の公式はなぜ180×(n-2)なのか｜中2平行と合同

角形の内角の和は 。なぜ2を引くのか——公式を覚えていても、この理由を説明できる人は多くありません。

理由が分かると、公式を忘れてもその場で作り直せます。しかも外角の和が になる理由も、同じ考え方から出てきます。

結論：三角形に分けると 個できるから

多角形の1つの頂点から、他の頂点へ対角線を全部引きます。すると多角形は三角形に分かれます。

そのとき三角形の個数がちょうど 個になります。三角形1つの内角の和は なので

内角の和 ＝

「」は三角形の個数から来ています。公式の中の には、ちゃんと意味がありました。

なぜ 個なのか

ここが本題です。1つの頂点から対角線を引くとき、引ける相手の頂点を数えます。

• 全部で 個の頂点がある
• 自分自身には引けない …
• 両隣の2つは、すでに辺でつながっている …

したがって対角線は 本引けます。

本の対角線で分けると、三角形は 個。1本引くごとに領域が1つ増えるので、「本数 」が個数になります。

【検算】実際に数えてみます。

多角形		対角線	三角形	内角の和
三角形	3	0本	1個
四角形	4	1本	2個
五角形	5	2本	3個
六角形	6	3本	4個
十角形	10	7本	8個

四角形が なのは、長方形で確かめられます。 ○。

別の分け方でも同じになる

内部の1点からすべての頂点へ線を引く方法もあります。この場合、三角形は 個できます。

ただし、中心に集まった角（合計 ）は内角ではありません。だから引きます。

同じ式になりました。分け方が違っても答えが同じ——これは公式が正しいことの強い証拠です。

【検算】五角形で試します。内部の点から5本引くと三角形は5個で 。中心の を引いて 。表の値と一致します。

外角の和が になる理由

こちらはもっと簡単です。しかも によらず一定という、驚くべき結果になります。

各頂点で、内角と外角は一直線をつくります。だから

（1つの内角）＋（1つの外角）＝

頂点は 個あるので、全部足すと

（内角の和）＋（外角の和）＝

内角の和は なので、外角の和は

が消えました。だから何角形でも外角の和は です。

直感的な説明

多角形の辺に沿って1周歩くことを想像してください。角を曲がるたびに、外角のぶんだけ向きを変えています。

1周して元の位置・元の向きに戻るので、向きの変化の合計はちょうど1回転＝。

何角形でも「1周は1周」だから、外角の和は変わりません。

正多角形の1つの角

正 角形ではすべての角が等しいので、割り算だけで出ます。

• 1つの内角 …
• 1つの外角 …

外角のほうが圧倒的に簡単です。だから外角から求めて、 から引くのが速い。

例：正十二角形の1つの内角。

外角は 。内角は 。

【検算】内角の公式でも計算します。。一致しました。

正多角形	外角	内角	内角の公式でも
正三角形			○
正方形			○
正六角形			○
正十角形			○

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. 公式が短く、覚えるほうが早く見えるから

は10秒で覚えられます。導出を理解するには、対角線の本数を数え、三角形の個数を確認する必要があり、覚えるより時間がかかります。

短期的には暗記のほうが効率的に見える——この構造上、導出は後回しになりやすいのです。

ところが暗記だけだと、 か か迷ったときに確認できません。四角形で になるか試せば一発ですが、それも「確かめる」という発想があってこそです。

2. 外角の和が によらないことの意外性が扱われにくいから

内角の和は で変わるのに、外角の和は変わらない。これは本来かなり意外な事実です。

しかし公式として並べて提示されると、2つとも「覚えるべき公式」として同列に見えます。意外性が伝わらないと、記憶にも残りにくい。

「1周は1周だから」という説明を一度聞いておくだけで、外角の和は忘れなくなります。

3. 「多角形」の単元自体が短いから

内角の和・外角の和は、中2の「平行と合同」の一部として扱われます。合同の証明という大きな内容が同じ単元にあるため、多角形の角の性質に割かれる分量は限られます。

公式2つと計算練習で終わりやすく、導出まで扱う余地が構造的に少ないという位置にあります。

【検算】3つの確認法

1. 四角形で試す

公式を思い出せないときは、 を入れて になるかを見ます。

• … ○
• … ×
• … ×

長方形の内角の和が なのは確実に知っているので、これで公式が確定します。

2. 内角と外角を足して になるか

	内角の和	外角の和	合計
3	180	360	540	540 ○
5	540	360	900	900 ○
8	1080	360	1440	1440 ○

3. 正多角形の内角が 未満か

内角が 以上になったら、計算ミスです。 を大きくすると に近づきますが、決して届きません。

よくあるミス

ミス1： を や にする

四角形で試せば一瞬で分かります。 にならなければ間違いです。

ミス2：外角の和も で変わると思う

外角の和はいつでも です。百角形でも 。

ミス3：正多角形の1つの内角を求めるとき、割り忘れる

は和です。1つぶんを求めるには で割ります。

ミス4：内角と外角を取り違える

外角は「辺を延長した外側の角」です。内角の隣にあり、足して 。

正六角形なら内角 、外角 。足して ○。

練習問題

1. 七角形の内角の和を求めなさい。
2. 正八角形の1つの外角と1つの内角を求めなさい。
3. 内角の和が である多角形は何角形か。
4. 1つの外角が である正多角形は何角形か。
5. 1つの内角が である正多角形は何角形か。
6. 九角形の1つの頂点から引ける対角線は何本か。また分かれる三角形は何個か。

解答

2. 外角は 、内角は 。検算： ○
3. より 、 で十一角形。検算： ○
4. より で正十五角形。検算： ○
5. 外角は 。 で正二十角形。外角から求めるのが速い。検算： ○
6. 対角線は 6本、三角形は 7個。検算：内角の和は 、公式でも ○

まとめ

• の は三角形の個数
• 1つの頂点から引ける対角線は 本（自分と両隣を除く）。三角形はその で 個
• 内部の点から分ける方法でも で同じ
• 外角の和はいつでも 。1周は1周だから
• 正多角形は外角 から求めて から引くのが速い
• 公式に迷ったら四角形（）で試す

「複雑な図形を、知っている図形に分解する」という発想は、この先ずっと使います。中3では面積を三角形に分けて求め、高校では多面体をオイラーの多面体定理で扱い、積分では図形を細かく分けて足し上げます。多角形を三角形に分ける——中2のこの一歩が、その最初の練習です。