単項式の乗除で指数の扱いを間違える｜中2式の計算

は なのか なのか。 はどうか。指数の規則は3つあるように見えて、しかも似ているので混ざります。

結論から言うと、規則を覚える必要はありません。すべて「 を何個かけたか」を数えるだけで出せます。中2の単項式の乗除は、そこを押さえれば事故がなくなります。

結論：指数は「かけた個数」を書いているだけ

とは のこと。指数の3は「3個かけた」という個数です。

だから、かけ算をすれば個数は足し算になります。

2個と3個で合計5個。足すのは当たり前で、覚えるようなことではありません。

式	展開すると	個数	答え

かけ算は足す、わり算は引く、累乗の累乗はかける。3つとも「個数を数える」から自然に出ます。

3つを混同しないために

混乱の原因は、 が2か所に出てくることです。

• … 式どうしのかけ算 → 指数は足す
• … 累乗の累乗 → 指数はかける

見分け方はかっこの有無です。かっこがあれば「そのかたまりを何回かける」という意味なので、指数どうしをかけます。

【検算】 を入れて確かめます。

• 。。一致
• 。。一致
• もし を としていたら、64と食い違う

数を1つ入れるだけで、規則の取り違えは必ず見つかります。

係数と文字は別々に処理する

単項式の乗除で最も多い事故は、係数と指数を混ぜることです。

を計算しなさい。

係数は係数どうし、文字は文字どうし。順番を入れ替えても積は変わらないので、分けて計算できます。

• 係数 … （かける）
• 指数 … （足す）

係数はかけ算、指数は足し算。ここを混ぜて や にしてしまうのが典型的なミスです。

【検算】 で、左辺 、右辺 。一致しました。

係数に累乗がかかるとき

では、係数の3も3乗されます。

ではありません。かっこの中身全体が3回かけられるので、係数も含まれます。

【検算】 なら左辺 、右辺 。一致。 なら3になってしまい、合いません。

わり算は分数にして約分する

指数を引く規則を覚えるより、分数に書いて約分するほうが確実です。

で、上下から を2個ずつ消すと 。約分そのものです。

とくに分母のほうが指数が大きいときは、分数に書くと安全です。

と書くのは高校の内容です。中学では の形で答えます。

文字が2種類あるとき

のように文字が複数あっても、やることは変わりません。文字ごとに分けて数えます。

• 係数 …
• … 個
• … 個

種類ごとに独立して数える。 と は混ざりません。

【検算】 で、左辺 、右辺 。一致しました。

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. 指数の導入が中1、本格運用が中2以降で離れているから

累乗の記号は中1の「正負の数」で導入されます。しかし指数を足したりかけたりする計算が主役になるのは中2の単項式の乗除で、そこから中3の展開・因数分解、高校の指数関数へと続きます。

導入から本格運用まで学年が空くという構成上、「指数はかけた個数だ」という定義が薄れたまま、規則だけを新しく習う形になりやすいのです。

2. 3つの規則がまとめて提示されるから

、、。この3つはほぼ同じ時期に、続けて登場します。

形が似ているうえに、足す・引く・かけるが1つずつ。記憶の中で入れ替わりやすい構成です。

これは教え方の問題ではなく、内容として3つ一組で扱わざるを得ないことから来ています。だからこそ「個数を数える」に一度戻せば全部出るという理解が効きます。

3. 係数と指数のミスが、答案では同じに見えるから

を と答えたとき、答案には「答えが違う」としか現れません。原因は

• 指数をかけてしまった（）
• 係数と指数の処理を取り違えた

のどちらかですが、結果からは区別がつきません。この構造上、自分がどちらでつまずいているか特定しないまま練習を重ねることになりやすい。

対策は係数と文字を分けて1行書くことです。 と書けば、どちらの処理も目に見えます。

【検算】数を代入する

指数の計算は、 を代入するのが最も強力な検算です。

は使えません。 は何乗しても なので、指数を間違えても一致してしまいます。 か を使ってください。

式	答え	で左辺	で右辺
			○
			○
			○
			○
			○

もう1つ、指数の大きさで見当をつける方法もあります。かけ算をすれば指数は必ず増える。わり算をすれば減る。方向が逆なら即座に間違いです。

よくあるミス

ミス1： を にする

指数をかけてしまうミス。かけ算では足します。

個数で考えれば明らかです。2個と3個を合わせて6個にはなりません。

ミス2： を にする

逆方向のミスです。かっこがあるときはかけます。

は を3回かけるので、 は 個。

ミス3：係数を足す／係数の累乗を忘れる

• の係数は 。足して7ではありません
• の係数は 。3のままではありません

係数はかける、係数も累乗される。ここは2つセットで覚えてください。

ミス4：文字の種類をまたいで指数を足す

は であって、 でも でもありません。種類が違えば足せません。

同類項をまとめるときと同じで、同じ文字どうしでしか合流しません。

練習問題

1. を計算しなさい。
2. を計算しなさい。
3. を計算しなさい。
4. を計算しなさい。
5. を計算しなさい。
6. を計算しなさい。

解答

1. より。検算： で 、 ○
2. より。検算： で 、 ○
3. 係数 、指数 より。検算： で 、 ○
4. 係数 、指数 より。係数も4乗されます
5. 係数 、指数 より。検算： で 、 ○
6. 係数 、 は 、 は より

まとめ

• 指数は「かけた個数」。規則は全部そこから出る
• かけ算は足す（）、わり算は引く、累乗の累乗はかける（）
• 見分け方はかっこの有無。かっこがあれば指数をかける
• 係数と文字は分けて処理。係数はかけ算、指数は足し算
• かっこの外の指数は係数にもかかる。
• わり算は分数に書いて約分すると安全
• 検算は を代入。 では間違いが検出できない

指数の扱いは、中3の展開・因数分解、高校の指数法則の拡張（、、）、対数へと一直線に続きます。高校で指数が分数や負の数に広がっても、規則そのものは中2のこの3つのまま変わりません。ここを「個数を数える」で理解しておけば、拡張されたときも同じ道具で対応できます。