たすきがけがうまくできない｜数I数と式

を因数分解する。たすきがけを使うのですが、数の組み合わせを探しているうちに時間が過ぎる——非常に多い状態です。

実は試す順番と候補を絞る方法があります。運任せの試行錯誤から、手順のある作業に変わります。

結論：積が 、和が の2数を探す

を因数分解するとき、たすきがけの前に1つの数を探すだけで済ませられます。

かけて 、たして になる2数を探す

なら 、、。

• かけて18、たして11の2数 … 2と9

見つかったら真ん中の項を2つに分けます。

あとは2項ずつくくるだけ。

【検算】展開して戻します。

元に戻りました ○

この方法なら、たすきがけの図を描かずに済みます。探すのは1組の数だけです。

なぜこの方法で解けるのか

理由を確認します。 を展開すると

ここで 、、。すると

と の積が 、和が 。だから「かけて 、たして 」の2数を探せば、それが と になります。

【検算】先の例で確認します。 なので 。

○、 ○。確かに一致します。

候補を絞る手順

「かけて 」の2数を探すとき、やみくもに試さないための手順があります。

手順1：符号を先に決める

の符号	2数の符号
正	同符号（ が正なら両方正、負なら両方負）
負	異符号

これで候補が半分以下になります。

【検算】 は 、。両方正。実際に2と9で両方正 ○

手順2：小さいほうから試す

の約数を小さい順に書き出します。18なら

和を計算すると 。11は2番目で見つかります。

約数の組は多くありません。 が100以下なら、たいてい5組以内です。

手順3：見つからなければ因数分解できない

すべての組を試して見つからなければ、その式は（整数の範囲では）因数分解できません。解の公式に切り替えます。

判別式が平方数かどうかでも判定できます。

【検算】 の判別式は 。平方数なので因数分解できる ○

一方 なら 。これも平方数で因数分解できます。実際 。

なら 。これも可能。。

【検算】 ○

係数が大きいとき

を因数分解しなさい。

ステップ1：、。

ステップ2： で なので両方負。

ステップ3：かけて72、たして 。72の約数の組は

和が17になるのは8と9。両方負にして と 。

ステップ4：分けてくくります。

【検算】展開します。

一致 ○

数値でも確かめます。 を入れると、元の式は 。答えは ○

共通因数を先に外す

これを忘れると計算量が跳ね上がります。

を因数分解しなさい。

共通因数6をくくると

中身は 、。かけて4たして5は1と4。

したがって。

【検算】 ○

くくらずに進めると となり、約数の組が一気に増えます。共通因数を先に外すだけで、探す手間が大きく減ります。

学校の授業では、なぜここが飛ばされやすいのか

1. たすきがけの図が「試行錯誤の道具」として提示されるから

たすきがけの図は組み合わせを試すための表です。図の書き方は教えられますが、どの順で試すかは各自に委ねられます。

結果として運任せの試行錯誤になり、時間がかかる人とかからない人の差が大きく開きます。

「かけて 、たして 」に一本化すれば、探すのは1組だけ。手順が明確になります。

2. を使う方法が標準では扱われにくいから

この方法はたすきがけの図を使わないため、教科書の説明とは別ルートになります。

ただし結果は同じで、しかも探す対象が1組の数に絞られるという明確な利点があります。答案には最終的な因数分解を書けばよいので、途中の方法は自由です。

3. 「できない場合がある」ことが明示されにくいから

整数の範囲で因数分解できない式はたくさんあります。ところが練習問題はできるものが中心なので、「必ずできるはず」と思い込みやすい。

すべての組を試して見つからなければ、できない——この判断を早くつけることが、時間を守るうえで重要です。判別式が平方数かで判定できます。

【検算】3つの方法

1. 展開して戻す

因数分解の検算はこれが基本です。真ん中の項が合っているかを特に確認します。

因数分解	展開	元
		一致 ○
		一致 ○
		一致 ○

2. を代入する

最も速い検算です。 なら係数の和になります。

• …
• … ○

数秒で確認できます。ただし だけでは不十分なこともあるので、 でも試すと確実です。

• ○

3. 判別式が平方数か

因数分解できるはずなのに見つからないときは、そもそもできない可能性があります。判別式で確認してください。

よくあるミス

ミス1：共通因数を外さずに始める

が大きくなり、候補が激増します。必ず先に外します。

ミス2：符号を後から考える

符号を先に決めると候補が半分以下になります。 なら異符号、 なら同符号。

ミス3： ではなく だけで探す

のときは なので同じですが、 なら を使います。

ミス4：分けたあとのくくり方を間違える

を とするとき、2つのかっこが同じ形になるかを確認します。ならなければ、分け方か符号が違います。

ミス5：できない式を探し続ける

約数の組を全部試したら打ち切ります。解の公式に切り替えるほうが速い。

練習問題

1. を因数分解しなさい。
2. を因数分解しなさい。
3. を因数分解しなさい。
4. を因数分解しなさい。
5. を因数分解しなさい（共通因数に注意）。
6. 1の答えに と を代入して検算しなさい。

解答

1. 、。かけて6たして7は1と6。
2. 、、 なので両方負。かけて24たして は と 。
3. 、、 なので異符号。かけて たして1は4と 。
4. 、。かけて60たして16は6と10。
5. 共通因数4をくくって 。中身は 。よって
6. ：元は 、答えは ○。：元は 、答えは ○

まとめ

• 探すのは「かけて 、たして 」の2数——1組だけ
• 見つけたら真ん中の項を分けて、2項ずつくくる
• 符号を先に決める（ なら同符号、 なら異符号）
• 約数の組を小さい順に試す。組は多くない
• 共通因数は必ず先に外す。 が小さくなる
• 全部試して見つからなければ因数分解できない。判別式で判定できる
• 検算は展開／ と を代入

この方法は、高校で扱う係数がさらに大きい二次式や、2文字の二次式でもそのまま使えます。「探す対象を1組に絞る」という発想は、試行錯誤を手順に変える典型例です。中3のここで身につけておけば、因数分解にかかる時間が大きく短縮されます。